В пирамиду, в основании которой лежит ромб с острым углом \(\alpha\) и стороной \(\sqrt{6}\), вписана сфера диаметра \(1\). Найдите угол \(\alpha\), если известно, что все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости её основания под углом \(60^\circ.\)

Решение

Пусть \(S-\) вершина пирамиды, \(O-\) центр вписанной сферы и \(H-\) основание высоты пирамиды, опущенной из \(S\). Поскольку боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом, точка \(H\) совпадает с точкой пересечения диагоналей основания, а точка \(O\) лежит на \(SH\). Стало быть, если \(P-\) основание перпендикуляра, опущенного из \(S\) на одно из рёбер основания, то \(\angle SPH = 60^\circ\), как \(\href{https://examp.info/onedef/linejnyj-ugol-dvugrannogo-ugla/}{\text{линейный угол двугранного угла}}\) между основанием и боковой гранью, и \(PH = OH\cdot \text{ctg}\left(\dfrac{1}{2}\angle SPH\right)\), так как \(PO -\) биссектриса угла \(\angle SPH\), по \(\href{https://examp.info/theorem/o-kasatelnyh/}{\text{теореме о касательных}}\). Значит, высота ромба равна \(2PH = \sqrt{3}\) и \(\sin{\alpha}\) равен отношению высоты ромба к его стороне, то есть \(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\). Стало быть, поскольку угол острый, он равен \(45^\circ.\)

Ответ: \(45^\circ\).