Даны точки \(A(1; 2; 3)\) и \(B(3; -4; 6)\). Найти проекции вектора \(\overrightarrow{AB}\) на оси координат и определить длину и направление вектора.

Решение

\(\rhd\)
Найдем вектор
\(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)=(2,-6,3)\)
\(\Longleftrightarrow\)
\(\overrightarrow{AB}=2i-6j+3k\).\(\quad\)
<p>
Найдем проекции вектора на оси:\(\quad\)
Пр_ox\(\overrightarrow{AB}\)=x_{\(\overrightarrow{AB}\)}=2,
Пр_oy\(\overrightarrow{AB}\)=y_{\(\overrightarrow{AB}\)}= -6
и
Пр_oz\(\overrightarrow{AB}\)=z_{\(\overrightarrow{AB}\)}=3 \(\quad\)
<p>
Найдем длину вектора:
\(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{2^2+(-6)^2+3^2}=7\)
<p>
Найдем направляющие косинусы:

\(\cos\alpha=\dfrac{2}{|\overrightarrow{AB}|}=\dfrac{2}{7}\),
\(\cos\beta=\dfrac{-6}{|\overrightarrow{AB}|}=\dfrac{-6}{7}\)

и

\(\cos\gamma=\dfrac{3}{|\overrightarrow{AB}|}=\dfrac{3}{7}\)
\(\lhd\)

Ответ: (\(\dfrac{2}{7};\dfrac{-6}{7};\dfrac{3}{7}), |\overrightarrow{AB}|=7\).