В правильной треугольной пирамиде \(SABC\) с вершиной \(S\) точки \(M\) и \(N\) --- середины ребер \(AB\) и \(BC\) соответственно. Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(M\) и \(N\) и пересекает ребра \(AS\) и \(CS\) в точках \(K\) и \(P\) соответственно. Докажите, что точка пересечения прямых \(MP\) и \(KN\) лежит на высоте пирамиды \(SABC\).

Решение

Отрезок \(MN\) --- это средняя линия в треугольника \(ABC\), следовательно, \(MN\parallel AC\), поэтому \(KP\parallel AC\) --- как прямая пересечения плоскостей \( (ASC)\) и \(\alpha\). Тогда \(MKPN\) --- это трапеция. Пусть её диагонали пересекаются в точке \(X\). Получим, что \(\frac{KX}{XN}=\frac{KP}{MN}=\frac{\frac{ac}{a+b}}{\frac{c}2}=\frac{2a}{a+b}\).

<br />

Высота \(SH\) проецируется в центр основания (т.е. точка \(H\) --- это центр правильного треугольника \(ABC\)), т.к. пирамида правильная, следовательно, она лежит в плоскости \(ASN\). Пусть \(KN \cap SH=X′\). Тогда по \(\href{https://zadachi.mccme.ru/2012/jndex.html#f23&page1}{теореме\,Менелая}\) для треугольника \(ANK\) получим: \(\frac{AH}{HN}\cdot \frac{NX′}{X′K} \cdot \frac{KS}{AS}=1\), т.е. \(\frac{KX′}{X′N} \cdot \frac21\cdot \frac{a}{a+c}=\frac{2a}{a+b}\). Получили, что точки \(X\) и \(X′\) одинаково делят отрезок \(KN\), следовательно, \(X=X′\), т.е. \(MP\) и \(KN\) лежит на высоте пирамиды \(SABC\).

Ответ: .