Исследовать на сходимость ряд:
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{5}{2} \right)^n \cdot \left( \frac{n+1}{n+2} \right)^{n^{2}} \]

Решение

Применим радикальный признак Коши к исходному ряду, получим:
\[\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left( \frac{5}{2} \right)^n} \cdot \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left( \left( \frac{n+1}{n+2} \right)^n \right) ^n} = \frac{5}{2} \cdot \lim_{n\to\infty} \left( \frac{n+1}{n+2} \right)^n \]
Преобразуем выражение:
\[\frac{5}{2} \cdot \lim_{n\to\infty} \left( \frac{n+1}{n+2} \right)^n = \frac{5}{2} \cdot \lim_{n\to\infty} \left( \frac{(n+2)-1}{n+2} \right)^n = \frac{5}{2} \cdot \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{-1}{n+2} \right)^n \]
Используем свойство второго замечательного предела:
\[\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{a}{n} \right)^bn = e^{ab} \]
Получаем:
\[\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{-1}{n+2} \right)^n = e^{-1} \text{ здесь b=1; a=-1.} \]
Вернёмся в исходное решение:
\[\frac{5}{2} \cdot e^{-1} = \frac{5 \cdot e^{-1}}{2} < 1 \Rightarrow \text{ ряд сходится. }\]

Ответ: Ряд сходится.