Есть функция \(f(x)= \dfrac{1}{\sqrt[5]{1-x^5}}\). Вычислите \(f(...f(2022)...)\), где функция \(f\) применяется 1303 раза.

Решение

Заметим, что \(f(x)= \dfrac{1}{\sqrt[5]{1-x^5}}\),
\[f(f(x))= \dfrac{1}{\sqrt[5]{1-\dfrac{1}{ (\sqrt[5]{1-x^5})^5}}}=\dfrac{1}{\sqrt[5]{1-\dfrac{1}{ 1-x^5}}}=\dfrac{1}{\sqrt[5]{\dfrac{-x^5}{ 1-x^5}}}=\sqrt[5]{1-\dfrac{1}{x^5}},\]
\[f(f(f(x)))= \sqrt[5]{1-(1-x^5)}=x,\]
\[f(f(f(f(x))))= f(x).\]
Видим цикл, равный 3. Остаток от деления 1303 на 3 равен 1. Следовательно, \(f(\ldots f(x)\ldots)\), где функция \(f\) применяется 1303 раза, при \(x=2022\) равен \(f(2022)\).

Ответ: \(\dfrac{1}{\sqrt[5]{1-(2022)^5}}\).