Решите неравенство \(\log_{x+4} 2 \leqslant \log_{x^2-2}2\).

Решение

Приведём логарифмы к основанию 2:
\[\log_{x+4}2\ -\log_{x^2-2}2=\dfrac{\log_2 2}{\log_2 (x+4)}\ -\dfrac{\log_2 2}{\log_2 (x^2\ -2)}=\dfrac{\log_2(x^2-2)\ -\log_2 (x+4)}{\log_2 (x+4) \cdot \log_2 (x^2-2)}.\]
Следовательно, поскольку логарифм по основанию 2 — строго возрастающая функция, меняющая знак в точке 1, знак выражения \(\log_{x+4} 2 \ - \log_{x^2\ -2}2\) совпадает со знаком выражения
\[\dfrac{(x^2\ -2)\ -(x+4)}{((x+4)\ -1)((x^2\ -2)\ -1)}\]
при условии, что и \(x+4\), и \(x^2\ -2\) положительны. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе
\[\left\{\begin{array}{lcl}
\dfrac{(x+2)(x\ -3)}{(x+3)(x^2\ -3)}\leqslant 0,\\
x>\ -4,\\
x^2 > 2.
\end{array} \right.\]

Решение первого неравенства: \((-\infty; -3)\cup [-2; -\sqrt{3})\cup (\sqrt{3}; 3].\) Пересекая его с решениями второго и третьего неравенства, получаем: \((-4; -3)\cup [-2; -\sqrt{3})\cup (\sqrt{3}; 3].\)

Ответ: \((-4; -3)\cup [-2; -\sqrt{3})\cup (\sqrt{3}; 3]\).