Решите неравенство \(\log _{\left(x\right)} \left(x^2 + \dfrac{3}{2}\right)\leqslant 4\log _{\left(x^2 + \frac{3}{2}\right)} x\).

Решение

Положим \(t =\log _x \left(x^2 + \dfrac{3}{2}\right)\). По свойствам логарифма \(\dfrac{1}{t} =\log _{\left(x^2 + \frac{3}{2}\right)} \left(x\right)\).
Тогда, поскольку

\[t\leqslant \dfrac{4}{t} \Leftrightarrow \dfrac{(t-2)(t+2)}{t}\leqslant 0 \Leftrightarrow
\left[
\begin{gathered}
0 < t \leqslant 2 \\
t \leqslant -2\\
\end{gathered}
\right. \Leftrightarrow
\left[
\begin{gathered}
\dfrac{1}{t}\geqslant \dfrac{1}{2} \\
t \leqslant -2\\
\end{gathered}
\right.,\]

получаем

\[\log _x \left(x^2 + \frac{3}{2}\right)\leqslant 4\log _{\left(x^2 + \frac{3}{2}\right)} \left(x\right)
\Leftrightarrow \]\[\Leftrightarrow \left[
\begin{gathered}
\log _{\left(x^2 + \frac{3}{2}\right)} \left(x\right)\geqslant \dfrac{1}{2} \\
\log _x \left(x^2 + \dfrac{3}{2}\right) \leqslant -2\\
\end{gathered}
\right.
\Leftrightarrow \]\[ \Leftrightarrow
\begin{cases}
x>0 \\
\left[
\begin{gathered}
\log _{\left(x^2 + \frac{3}{2}\right)} (x^2)\geqslant 1 \\
\log _{(x^{-2})} \left(x^2 + \dfrac{3}{2}\right) \geqslant 1\\
\end{gathered}
\right.
\end{cases}
\]
Используя \(\href{https://examp.info/theorem/metod-racionalizacii/}{\text{метод рационализации}}\) для логарифмических функций получим

\[
\begin{cases}
x>0 \\
\left[
\begin{gathered}
\dfrac{x^2-\Big(x^2+\dfrac{3}{2}\Big)}{\Big(x^2+\dfrac{3}{2}\Big)-1}\geqslant 0\\
\dfrac{\Big(x^2+\dfrac{3}{2}\Big)-x^{-2}}{x^{-2}-1}\geqslant 0\\
\end{gathered}
\right.
\end{cases}
\Leftrightarrow \]\[ \Leftrightarrow
\begin{cases}
x>0\\
\left[
\begin{gathered}
x \in \varnothing\\
\dfrac{x^4+\dfrac{3}{2}x^2-1}{x^{2}-1}\geqslant 0\\
\end{gathered}
\right.
\end{cases} \Leftrightarrow \]\[ \Leftrightarrow
\begin{cases}
x>0 \\
\dfrac{(x^2+2)\Big(x^2-\dfrac{1}{2}\Big)}{x^{2}-1}\geqslant 0\\
\end{cases}
\Leftrightarrow
\]\[ \Leftrightarrow
\begin{cases}
x>0 \\
\dfrac{1}{2}\leqslant x^2 < 1\\
\end{cases}
\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{\mathstrut2}} \leqslant x < 1

\]

Ответ: \(\dfrac{1}{\sqrt{\mathstrut2}} \leqslant x < 1\).