Объём треугольной призмы \(ABCA'B'C'\) с основанием \(ABC\) и боковыми рёбрами \(AA', BB', CC'\) равен 72. Найдите объём тетраэдра \(DEFG\), где \(D\) \(-\) центр грани \(ABB'A', E\) \(-\) точка пересечения медиан треугольника \(A'B'C', F\) \(-\) середина ребра \(AC\) и \(G\) \(-\) середина ребра \(BC.\)

Решение

\(\textbf{Решение 1}.\)

Обозначим через \(K, L, M\) середины отрезков \(FG, AB, A'B'\) соответственно (см. рис. 1).

Заметим, что точки \(C, C', E, D, K, L, M\) лежат в одной плоскости. Отметим на \(CL\) точки \(P\) и \(Q\) таким образом, что \(EP \parallel ML\) и \(DQ \parallel EK\). Тогда треугольники \(DLQ\) и \(EPK\) подобны.

Поскольку \(DL = \frac{1}{2} ML=\frac{1}{2} EP\), из подобия получаем \(LQ = \frac{1}{2} PK\).

Поскольку же \(LK= \frac{1}{2}\) и \(LP=ME= \frac{1}{3}MC′= \frac{1}{3} LC\), получаем \(PK=LK-LP=(\frac{1}{2} - \frac{1}{3})LC= \frac {1}{6}LC\) и \(LQ= \frac{1}{2} PK = \frac{1}{12} LC = \frac{1}{6} LK\).

Стало быть, \(QK=LK-LQ= \frac{5}{6}\). Таким образом, \(S_{ \triangle FGQ}=\dfrac{5}{6} S_{ \triangle FGL} = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{1}{4} S_{ \triangle ABC}=\dfrac{5}{24} S_{ \triangle ABC}\).

Заметим, что, поскольку \(DQ \parallel EK\), объёмы тетраэдров \(DEFG\) и \(QEFG\) равны. Заметим также, что объём тетраэдра \(QEFG\) равен трети произведения \(S_{ \triangle FGQ}\) на высоту призмы, а объём призмы равен произведению \(S_{ \triangle ABC}\) на эту же высоту.

Получаем, что объём тетраэдра \(DEFG\) относится к объёму призмы как \(\dfrac{\frac{1}{3} S_{ \triangle FGQ}}{S_{ \triangle ABC}}=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{5}{24}=\dfrac{5}{72}.\)

Стало быть, искомый объём равен 5.

\(\textbf{Решение 2 (векторный метод)}.\)

Объём призмы \(ABCA_1B_1C_1\) равен половине объёма параллелепипеда, натянутого на вектора \(\vec{AC}, \vec{AB}, \vec{AA_1}\) (см. рис. 1). Воспользуемся свойством смешанного произведения, получим: \(V_{ABCA_1B_1C_1}=\frac12\cdot|(\vec{AC}, \vec{AB}, \vec{AA_1})|=72\), т.е. \(|(\vec{AC}, \vec{AB}, \vec{AA_1})|=144\). Заметим, что \(DF, DG\) \(-\)соответственно средние линии треугольников \(\triangle B_1AC, \triangle A_1BC\), тогда \(\vec{DF}=\frac12\vec{B_1C}, \vec{DG}=\frac12\vec{A_1C}\). Точка \(E\) \(-\) это точка пересечения медиан треугольника \(\triangle A_1B_1C_1\), выразим вектор \(\vec{DE}=\vec{DR}+\vec{RE}=\frac12\vec{AA_1}+\frac13\vec{RE}=\)\(\frac12\vec{AA_1}-\frac16\vec{C_1A_1}-\frac16\vec{C_1B_1}=\frac12\vec{AA_1}+\frac16\vec{AC}-\frac16(\vec{C_1A_1}+\vec{A_1B_1})=\)\(\frac12\vec{AA_1}+\frac13\vec{AC}-\frac16\vec{AB}.\)

По свойству смешанного произведения \(V_{FEGD}=\frac16\cdot |(\vec{DF}, \vec{DG}, \vec{DE})|=\) \(\frac16\cdot |(\frac12\vec{B_1C}, \frac12\vec{A_1C}, \frac12\vec{AA_1}+\frac13\vec{AC}-\frac16\vec{AB})|=\) \(\frac1{24}|(-\vec{AA_1}-\vec{AB}+\vec{AC}, -\vec{AA_1}+\vec{AC}, \frac12\vec{AA_1}+\frac13\vec{AC}-\frac16\vec{AB})|.\) Упрощая это выражение, получим: \(V_{FEGD}=\frac56\cdot |(\vec{AB}, \vec{AA_1}, \vec{AC})|=\)\(\frac56\cdot |(\vec{AB}, \vec{AA_1}, \vec{AC})|=\)\(\frac56\cdot |(\vec{AC}, \vec{AB}, \vec{AA_1})|=\)\(\frac56 \cdot \frac{1}{24}\cdot 144=5.\)

Ответ: \(5\).