Окружность, проходящая через вершину \(A\) треугольника \(ABC\) касается его стороны \(BC\) в точке \(D\) и пересекает стороны \(AC\) и \(AB\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Известно, что \(AF = 3BF, BD = CD, AE=2CE\) и что \(ED = \sqrt{\mathstrut 10}\). Найдите \(BC\).

Решение

Положим \(x = BF, y = BD\). Тогда \(AB = 4x, BC = 2y\). По \(\href{/theorem/teorema-o-kvadrate-kasatelnoj}{\text{теореме о касательной и секущей}}\) \(y^2 = 4 x^2\), то есть \(BC = 2y = 4x = AB\).

Обозначим через \(L\) точку пересечения прямых \(AB\) и \(ED\). Обозначим также через \(M\) и \(N\) середины сторон \(AC\) и \(AB\) соответственно. Треугольники \(AEL\) и \(MED\) подобны, так как \(\angle AEL = \angle MED \) как вертикальные, и \(\angle LAE = \angle DME\) как соответственные при параллельных прямых \(AL\) и \(DM\). (\(DM\) \(-\) средняя линия треугольника \(ABC\)). При этом \(ME = AE-AM = AE-\frac{1}{2}AC = AE - \frac{1}{2}\frac{3}{2}AE=\frac{1}{4}AE\). Стало быть, \(ED=\frac{1}{4}EL\), откуда \(DL = 3ED = 3\sqrt{10}.\)

Кроме того, из того же подобия получаем, что \(AL=4MD=2AB=8x\). Применяя ещё раз теорему о касательной и секущей, получаем \(LD\cdot LE = LA \cdot LF,\) где \(LF = AL - AF = 5x \). Тогда \(8x\cdot5x=4\sqrt{\mathstrut10}\cdot3\sqrt{\mathstrut10}\), то есть \(x=\sqrt{\mathstrut3}\). И таким образом, \(BC = AB = 4x = 4\sqrt{\mathstrut3}\).

Ответ: \(4\sqrt{\mathstrut3}\).