Исследовать на сходимость: \( \sum\limits_{n=2}^\infty \dfrac{1}{n\cdot \ln^2 n} \)

Решение

Применим интегральный признак Коши, где заменим \(n\) на \(x\):
\[ \int\limits_{2}^\infty \dfrac{dx}{x\cdot \ln^2 x} \]
Заменим \(\ln x = u \rightarrow \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x} \) и получим:
\[ \displaystyle \int_{} \dfrac{1}{u^2} du = - \dfrac{1}{u} \]
Проведем обратную замену, получим:
\[ \int \dfrac{dx}{x\cdot \ln^2 x}= -\dfrac{1}{\ln x}\]
Найдём несобственный интгерал:
\[ \int\limits_{2}^\infty \dfrac{dx}{x\cdot \ln^2 x}=\displaystyle \lim_{b \to +\infty} \left( - \dfrac{1}{\ln x} \right)\Big|_{2}^b =\dfrac{1}{\ln 2}\]
Т.к. несобственный интеграл сходится, следовательно, исходный ряд сходится.

Ответ: Ряд расходится.