Найдите все значения параметра \(a\) из интервала \(\left(0,1\right)\), при которых для каждого \(x\) из интервала \(\left(0,\frac{\pi}{4}\right)\) существует не более одного значения \(y\) в интервале \(\left(0,\frac{\pi}{4}\right)\), такого что
\begin{equation*}
\dfrac{\mathop{\mathrm{tg}} x \mathop{\mathrm{tg}} y}{\mathop{\mathrm{tg}} \left(a\left(x+y\right)\right)}=\dfrac{\mathop{\mathrm{tg}} \left(x+y\right) - \mathop{\mathrm{tg}} \left(a\left(x+y\right)\right)}{1+ \mathop{\mathrm{tg}} \left(x+y\right) \mathop{\mathrm{tg}} \left(a\left(x+y\right)\right)}
\end{equation*}

Решение

Будем считать, что \(\left\{ \begin{array}{l}
0 < a < 1,\\
0 < x < \frac{\pi }{4},\\
0 < y < \frac{\pi }{4}.
\end{array} \right.\)

Тогда значения всех тангенсов определены и никакие знаменатели не обращаются в нуль. Домножая на произведения знаменателей и учитывая, что \(\mathop{\mathrm{tg}} \left(x+y\right) = \dfrac{\mathop{\mathrm{tg}} x + \mathop{\mathrm{tg}} y}{1- \mathop{\mathrm{tg}} x \mathop{\mathrm{tg}} y}\), получаем

\[
{\mathop{\mathrm{tg}}}^2\left(a\left(x+y\right)\right) + \mathop{\mathrm{tg}} \left(a\left(x+y\right)\right)\mathop{\mathrm{tg}} \left(x+y\right)\left(\mathop{\mathrm{tg}} x \mathop{\mathrm{tg}} y - 1\right) +\mathop{\mathrm{tg}} x \mathop{\mathrm{tg}} y = 0 \Leftrightarrow
\]\[ \Leftrightarrow
{\mathop{\mathrm{tg}}}^2\left(a\left(x+y\right)\right) - \left(\mathop{\mathrm{tg}} x + \mathop{\mathrm{tg}} y\right)\mathop{\mathrm{tg}} \left(a\left(x+y\right)\right)+\mathop{\mathrm{tg}} x \mathop{\mathrm{tg}} y = 0 \Leftrightarrow
\]\[ \Leftrightarrow
\left(\mathop{\mathrm{tg}} \left(a\left(x+y\right)\right)-\mathop{\mathrm{tg}} x\right)\left(\mathop{\mathrm{tg}} \left(a\left(x+y\right)\right)-\mathop{\mathrm{tg}} y\right) = 0 \Leftrightarrow
\]\[ \left[
\begin{gathered}
\mathop{\mathrm{tg}} \left(a\left(x+y\right)\right) = \mathop{\mathrm{tg}} x\\
\mathop{\mathrm{tg}} \left(a\left(x+y\right)\right) = \mathop{\mathrm{tg}} y
\end{gathered}
\right.
\Leftrightarrow\\
\left[
\begin{gathered}
a\left(x+y\right) = x\\
a\left(x+y\right) = y
\end{gathered}
\right. \Leftrightarrow
\left[
\begin{gathered}
y =\frac{1-a}{a}x\\
y=\frac{a}{1-a}x
\end{gathered}
\right.
\]

При любом значении \(a \in (0,1), a\neq\frac{1}{2},\) любому \(x\), удовлетворяющему
\[ 0 < x < \min \left(\frac{{1 - a}}{a},\frac{a}{{1 - a}}\right) \cdot \frac{\pi }{4} \]
будут соответствовать два значения \(y\) в интервале \(0<y<\frac{\pi}{4}\). Если же \(a=\frac{1}{2}\), получаем соответствие \(y=x\), которое взаимно однозначно.

Ответ: \(a=\frac{1}{2}\).