В четырехугольнике \(ABCD\) диагонали пересекаются в точке \(O\). Известно, что \(AO = OD\), а стороны \(AB\), \(BC\) и \(CD\) равны. Найдите угол \(AOD\), если его сторона \(AD\) не параллельна стороне \(BC\).

Решение

1. Из \(\bigtriangleup ACD и \bigtriangleup BCD: \angle OCD = 180 – 2\alpha -\gamma = 180 – 2\gamma - \beta \Rightarrow \beta + \gamma = 2 \alpha\)

2. Т. синусов для \(\bigtriangleup COD\):
\[\frac{\sin COD}{CD}=\frac{\sin OCD}{OD}\]
Т. синусов для \(\bigtriangleup BOA\):
\[\frac {\sin BOA}{BA} = \frac{\sin ABO}{AO}\]

3. \(\angle COD = \angle BOA\) (как вертикальные) и BA=CD (по условию), \(\Rightarrow \frac{\sin COD}{CD}= \frac {\sin BOA}{BA} \Rightarrow \frac{\sin OCD}{OD} = \frac{\sin ABO}{AO}\) По условию \(OD = AO \Rightarrow \sin OCD = \sin ABO\)
<br/>
4. Случай 1. \(\sin OCD = \sin ABO\ \Rightarrow \angle OCD = \angle ABO, 180 – 2\alpha - \gamma = 180 – 2\alpha - \beta, \gamma = \beta \Rightarrow \bigtriangleup BOC \) – равнобедренный. Значит BC \(\parallel\) AD, что противоречит условию.

5. \(\sin OCD = \sin ABO\ \Rightarrow \angle OCD = 180 - \angle ABO, \)
\[180 - \beta – 2 \gamma = 180 – (180 – 2\alpha - \beta);\]\[180 = 2\alpha + 2 \beta + 2 \gamma;\]\[90 = \alpha + \beta + \gamma.\]
Так как \(\beta + \gamma = 2\alpha \) (см. п. 1):
\[90^\circ = 3\alpha ;\]\[\alpha = 30^\circ .\]
6. \(\angle AOD = 180^\circ – 2 \alpha = 120^\circ \)

Решение добавила Газизуллина Ч.

Ответ: \(120^\circ\).