Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны \(a\) и \(b\), а угол между диагоналями равен \(\alpha\).

Решение

1. Пусть \(OC=OA=d\) и \(OD=OB=c\) (свойство диагоналей параллелограмма).

2. Т. косинусов для \(\triangle COD\):
\[a^2=c^2+d^2-2cd \cdot \cos \alpha .\]
Т. косинусов для \(\triangle BOA\):
\[b^2=c^2+d^2-2cd \cdot \cos (180 - \alpha)=c^2+d^2+2cd \cdot \cos \alpha .\]
Вычтем два уравнения и получим, что
\[a^2-b^2 = - 4cd \cdot \cos \alpha ;\]\[2cd = \frac{b^2-a^2}{2 \cos \alpha} .\]
3. Площадь четырехугольника:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 2c \cdot 2d \cdot \sin \alpha = 2cd \cdot \sin \alpha ;\]\[S = \frac{b^2-a^2}{2 \cos \alpha} \cdot \sin \alpha = \frac{b^2-a^2} {2} \cdot \mathop{\mathrm{tg}} \alpha .\]

Решение добавила Газизуллина Ч.

Ответ: \(\frac {b^2-a^2}{2}\cdot \mathop{\mathrm{tg}} \alpha\).