Найти все тройки действительных чисел \(x, y, z\) из интервала \((0, \pi/2)\), удовлетворяющих системе
\[\left\{\begin{array}{l}
\sin{x}=\sin{y}\ -\sin{z}\cos(x+z), \\
\cos{x}=\cos{z}+\cos y\cos(x+y).
\end{array}\right.\]

Решение

Поскольку \(\sin{x}=\sin(x+z)\cos{z} - \cos(x+z)\sin{z}\) и \(\cos x=\cos(x+y)\cos{y}+\sin(x+y)\sin{y}\), исходная система равносильна системе \[
\left\{\begin{array}{l}
\sin(x+z)\cos{z} - \cos(x+z)\sin{z}=\sin{y}\ -\sin{z}\cos(x+z), \\ \cos(x+y)\cos{y}+\sin(x+y)\sin{y}=\cos{z}+\cos y\cos(x+y)
\end{array}\right.
\Leftrightarrow\]\[\left\{\begin{array}{clc}
\sin(x+z)\cos{z}=\sin{y}, \\ \sin(x+y)\sin{y}=\cos{z}.
\end{array}\right.\]
Поскольку в этих равенствах никакие множители не обращаются в нуль, корректно рассмотреть отношения \(\dfrac{\cos{z}}{\sin{y}}\) и \(\dfrac{\sin{y}}{\cos{z}}\). Оба эти отношения положительны и ограничены единицей, стало быть, они равны 1. Значит, \(\sin{y}=\cos{z}\neq0,\) откуда \(\sin(x+y)=\sin(x+z)=1\). Ввиду ограничения на \(x,y,z\), отсюда следует, что \(y+z=\pi/2\) и что \(x+y=x+z=\pi/2\). Стало быть, \(x=y=z=\pi/4\).

Ответ: \(x=y=z=\pi/4\).