Найдите все возможные значения произведения \(x \cdot y\), если известно, что \(x, y \in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)\) и справедливо
\[\dfrac{1\ -\sin (x\ -y)}{1\ -\cos (x\ -y)}=\dfrac{1\ -\sin (x+y)}{1\ -\cos (x+y)}.\]

Решение

При заданных ограничениях на \(x\) и \(y\) знаменатели не равны нулю тогда и только тогда, когда \(x\neq y.\)

Заметим, что при \(x, y \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right)\) справедливо \[\cos(x\ -y)\geqslant\cos(x+y).\]

Действительно, \(\cos(x\ -y)=\cos x \cos y + \sin x \sin y \geqslant \cos x \cos y - \sin x \sin y = \cos(x\ +y)\). Аналогично, поскольку \( \sin x \cos y + \cos x \sin y \geqslant \sin x \cos y\ - \cos x \sin y\), справедливо \[\sin(x+y)\geqslant \sin(x\ -y).\]

Таким образом, \[\dfrac{1\ -\sin (x\ -y)}{1\ -\cos (x\ -y)}\geqslant \dfrac{1\ -\sin (x+y)}{1\ -\cos (x+y)}\]
и равенство достигается тогда и только тогда, когда равны и числители, и знаменатели, то есть когда
\[\sin x \sin y= \cos x \sin y = 0.\]
Поскольку \(\sin x\) и \(\cos x\) не могут одновременно обращаться в 0, справедливо \(\sin y = 0\), откуда \(y=0\). Остаётся заметить, что при \(y=0\) исходное равенство выполняется при любом \(x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\).

Ответ: \(x y = 0\).