Положительные числа \(a, b, c\) образуют непостоянную геометрическую прогрессию. Числа \(a, 4b, 7c\) образуют арифметическую прогрессию. Найти отношение \(\Large{\frac{a}{c}}.\)

Решение

Из определения \(\href{https://examp.info/onedef/geometricheskaya-progressiya/}{\text{геометрической прогрессии}}\) имеем \(c=qb=q^2a\) для некоторого \(q\). Из первого равенства получаем, что \(q={\dfrac{c}{b}},\) и, подставляя \(q\) во второе равенство, получаем, что \(b^2=ac.\)

Аналогично из определения арифметической прогрессии имеем \[7c=4b+t=a+2t\] для некоторого \(t\), откуда \[8b=a+7c.\]

Подставляя \(b=\sqrt{ac}\) в равенство \(8b=a+7c\), получаем: \[8\sqrt{ac}=a+7c.\] Поделим уравнение на \[c:\quad 8\sqrt{\dfrac{a}{c}}=\dfrac{a}{c}+7.\] Находим корни квадратного уравнения:
\[\left(\sqrt{\dfrac{a}{c}}-1\right)\left(\sqrt{\dfrac{a}{c}}-7\right)=0.\] Поскольку \(a\neq c,\) то \(\dfrac{a}{c}=49.\)

Ответ: 49.