Загадано 2022---значное натуральное число, любые две соседние цифры которого (расположенные в том же порядке) образуют двухзначное число, делящееся или на 19, или на 23. Загаданное число начинается с цифры 4. Какой цифрой оно заканчивается?

Решение

Рассмотрим двузначный числа, делящиеся на 19 и 23, --- это 19, 38, 57, 76, 95 и 23, 46, 69, 92 соответственно. Заметим, что двузначные числа, которые начинаются на 8, не делятся на 19 и 23. Следовательно, если в искомом числе есть цифра 8, то она может быть только последней. Первая цифра 4, тогда следующая 9. После девяти может идти последовательность 2 --- 3 --- 8: не подходит, так как содержит 8, которая не в конце, или последовательность 5 --- 7 --- 6 --- снова 9. Получаем, что число состоит из циклов 6 --- 9 --- 5 --- 7, длина которых равна 4. \(2022=1+4\cdot505+1\). Следовательно, 6 последняя цифра. Но последней (полностью либо частично) последовательностью может стоять также 6 --- 9 --- 2 --- 3 --- 8. Тогда в этом случае последняя цифра 8.

Ответ: 6 или 8.