Какое из чисел больше:

\(A=\dfrac{3}{(1\cdot2)^2}+\dfrac{5}{(2\cdot3)^2}+...+\dfrac{87}{(43\cdot44)^2}+\dfrac{89}{(44\cdot45)^2}\) или \(B=\dfrac{\sqrt[6]{4-2\sqrt{3}}\cdot\sqrt[3]{\sqrt{3}+1}}{\sqrt[3]{2}}\).

Решение

<p>Заметим, что \(\dfrac{2n+1}{(n(n+1))^2}=\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{(n+1)^2}\). </p>
<p>Тогда \(A=\left(\dfrac{1}{1^2}-\dfrac{1}{2^2}\right)+\left(\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{3^2}\right)+...+\left(\dfrac{1}{43^2}-\dfrac{1}{44^2}\right)+\left(\dfrac{1}{44^2}-\dfrac{1}{45^2}\right)=\dfrac{1}{1^2}-\dfrac{1}{45^2}\).</p>
<p>Получаем, что \(A<1\). </p>
<p>Теперь рассмотрим \(B=\dfrac{\sqrt[6]{4-2\sqrt{3}}\cdot\sqrt[3]{\sqrt{3}+1}}{\sqrt[3]{2}}=\dfrac{\sqrt[6]{(\sqrt{3}-1)^2}\cdot\sqrt[3]{\sqrt{3}+1}}{\sqrt[3]{2}}=\dfrac{\sqrt[3]{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}}{\sqrt[3]{2}}=\dfrac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}=1\). </p>
<p>Указание: \(\sqrt[6]{(\sqrt{3}-1)^2}=\sqrt[3]{|\sqrt{3}-1|}\).</p>
<p>Следовательно, \(B>A\).</p>

Ответ: B.