Решить системы уравнений: \( \left\{\begin{array}\\ x^{\prime} = x - y + z \\ y^{\prime} = x + y - z \\ z^{\prime} = 2z - y \end{array}\right..\)

Решение

\[A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} \]
Составляем и решаем характеристическое уравнение \[ \left|A-\lambda E \right| =
\left|\begin{matrix} 1 - \lambda & -1 & 1 \\ 1 & 1 - \lambda & -1 \\ 0 & -1 & 2 - \lambda \end{matrix}\right| = -(\lambda - 2) \cdot (\lambda - 1)^2 = 0.\]
\[ \lambda - 2 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = 2\]
\[ (\lambda - 1)^2 = 0 \Rightarrow \lambda_{2,3} = 1\]
Для простого корня \(\lambda_1 = 2\) найдём собственный вектор \((V_{11}, V_{12}, V_{13})\) из матричного уравнения
\[ \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} V_{11} \\ V_{12} \\ V_{13} \end{pmatrix} = 0 \]
Решаем систему:
\[ \left\{\begin{array}\\ V_{13} - V_{12} - V_{11} = 0 \\ - V_{13} - V_{12} + V_{11} = 0 \\ - V_{12} = 0 \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array} \\ V_{11} = 1 \\ V_{12} = 0 \\ V_{13} = 1 \end{array}\right. \Rightarrow X_1 = \left\{\begin{array} \\ x = C \cdot e^{2t} \\ y = 0 \\ z = C \cdot e^{2t} \end{array}\right. \]
Для кратного корня \(\lambda_{2,3}\) число линейно независимых собственных векторов равно 1, а корень имеет кратность 2, следовательно, решение надо искать в следующем виде
\[ x = (a_1 \cdot t + a_0)e^t ; y = (b_1 \cdot t + b_0)e^t; z = (c_1 \cdot t + c_0)e^t \Rightarrow\]
\[ x^{\prime} = (a_1 \cdot t + a_1 + a_0)e^t ; y^{\prime} = (b_1 \cdot t + b_1 + b_0)e^t ; z^{\prime} = (c_1 \cdot t + c_1 + c_0)e^t.\]
Подставим в исходную систему
\[ \left\{\begin{array} \\ (a_1 \cdot t + a_1 + a_0)e^t = (a_1 \cdot t + a_0)e^t - (b_1 \cdot t + b_0)e^t + (c_1 \cdot t + c_0)e^t \\ (b_1 \cdot t + b_1 + b_0)e^t = (a_1 \cdot t + a_0)e^t + (b_1 \cdot t + b_0)e^t - (c_1 \cdot t + c_0)e^t \\ (c_1 \cdot t + c_1 + c_0)e^t = 2(c_1 \cdot t + c_0)e^t - (b_1 \cdot t + b_0)e^t. \end{array}\right.\]
Сократим в системе на \(e^t\) и приравняем коэффициенты, получим
\[ \left\{\begin{array} \\ b_1 - c_1 = 0 \\ c_1 - a_1 = 0 \\ b_1 - c_1 = 0\\ a_1 + b_0 - c_0 = 0\\b_1 - a_0 + c_0 =0 \\c_1 - c_0 +b_0 = 0 \end{array}\right. \]
\[ a_1 = C_1 ; c_0 = C_2 \Rightarrow \left\{\begin{array} \\ a_0 = C_2 + C_1 \\ a_1 = C_1 \\ b_0 = C_2 - C_1 \\ b_1 = C_1 \\ c_0 = C_2\\ c_1 = C_1. \end{array}\right. \]
Подставим найденные коэффициенты в искомое решение, получим
\[ X_2 = \left\{\begin{array} \\ x = (C_1 \cdot t + C_2 + C_1)e^t \\ y = (C_1 \cdot t + C_2 - C_1)e^t \\ z = (C_1 \cdot t + C_2)e^t. \end{array}\right. \]
Общее решение запишется в виде
\( X = X_1 + X_2\), т.е.
\[ \left\{\begin{array} \\ x = C \cdot e^{2t} + (C_1 \cdot t + C_2 + C_1)e^t \\ y = C_1 \cdot t \cdot e^t + (C_2 - C_1)e^t \\ z = C \cdot e^{2t} + (C_1 \cdot t + C_2)e^t. \end{array}\right.\]

Ответ: \(\left\{\begin{array} \\ x = C \cdot e^{2t} + (C_1 \cdot t + C_2 + C_1)e^t \\ y = C_1 \cdot t \cdot e^t + (C_2 - C_1)e^t \\ z = C \cdot e^{2t} + (C_1 \cdot t + C_2)e^t \end{array}\right\).