Решите неравенство \(\left( \sqrt{6} + \sqrt{5} \right)^{\log_{\sqrt{6} - \sqrt{5}} x} \geqslant \left( \sqrt{6} - \sqrt{5} \right)^{\log_ x (\sqrt{6} + \sqrt{5})}.\)

Решение

Заметим, что \(\left( \sqrt{6} + \sqrt{5}\right)\left( \sqrt{6} - \sqrt{5}\right) = 1 \Rightarrow \left( \sqrt{6} + \sqrt{5}\right) = \dfrac{1}{\left( \sqrt{6} - \sqrt{5}\right)}\).
Найдём область определения неравенства: \(x>0, x\neq 1\).
С условием замечания мы можем переписать неравенство в виде \(\left( \sqrt{6} + \sqrt{5}\right)^{\log_{\sqrt{6} - \sqrt{5}} x} \geqslant \left( \sqrt{6} + \sqrt{5}\right)^{-\log_x \left( \sqrt{6} + \sqrt{5}\right)}.\)
Так как основание \( \sqrt{6} + \sqrt{5}\) показательной функции больше \(1\), то можем перейти к неравенству \(\log_{\sqrt{6} - \sqrt{5}} x \geqslant -\log_x \left( \sqrt{6} + \sqrt{5}\right).\)

Положим \(t =\log_{\sqrt{6} - \sqrt{5}} x\). Тогда по \(\href{https://examp.info/theorem/logarifma/}{\text{ свойствам логарифма}}:\)
\[\dfrac{1}{t} =\log_{x} \left(\sqrt{6} - \sqrt{5}\right) = - \log_{x} \left(\sqrt{6} + \sqrt{5}\right).\]
Получили неравенство \(t\geqslant\dfrac{1}{t} \Leftrightarrow \dfrac{t^2-1}{t}\geqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{(t-1)(t+1)}{t} \geqslant 0 \Leftrightarrow t\in[-1,0)\cup [1,+\infty)\).
Делаем обратную замену и получаем:
\[
\left[
\begin{gathered}
-1\leqslant \log_{\sqrt{6} - \sqrt{5}} x < 0\\
1\leqslant \log_{\sqrt{6} - \sqrt{5}} x.
\end{gathered}
\right.\]
Так как \(\sqrt{6} - \sqrt{5}\) меньше \(1\), то функция \(\log_{\sqrt{6} - \sqrt{5}} x\) \(- \) убывающая, поэтому получаем: \[ \left[
\begin{gathered}
(\sqrt{6}-\sqrt{5})^{0} \le x < \left(\sqrt{6} - \sqrt{5}\right)^{-1}\\
x\leqslant \sqrt{6} - \sqrt{5}.
\end{gathered}
\right.\Leftrightarrow
\left[
\begin{gathered}
1\le x< \left(\sqrt{6} + \sqrt{5}\right)\\
x\leqslant \sqrt{6} - \sqrt{5}.
\end{gathered}
\right.\]
С учётом области определения неравенства, получим, что \(x\in(0, \sqrt{6} - \sqrt{5}] \cup (1, \sqrt{6} + \sqrt{5})\).

Ответ: \((0, \sqrt{6} - \sqrt{5}] \cup (1, \sqrt{6} + \sqrt{5}).\)