Найдите все значения параметра а, при которыx уравнение \(\left(\sqrt{3 + 2x - x^2} - \sqrt{3 - 2x - x^2}\right) \left(\sqrt{a - x^2} - \sqrt{3 - 2x - x^2}\right)\left(\sqrt{a - x^2} - \sqrt{3 + 2x - x^2}\right) = 0\) имеет ровно одно решение.

Решение

Исходное уравнение эквивалентно следующей совокупности:

\[\left[\begin{array}{l}
\sqrt{3 + 2x - x^2} - \sqrt{3 - 2x - x^2} = 0,\\
\sqrt{a - x^2} - \sqrt{3 - 2x - x^2} = 0,\\
\sqrt{a - x^2} - \sqrt{3 + 2x - x^2} = 0.
\end{array}\right.\quad (*)\]

Пусть \(x_0\) \(-\) некоторое решение уравнения. Тогда \(-x_{0}\) тоже будет являться решением уравнения. Таким образом, единственным решением уравнения может быть только \(x_{0} = 0 \). Подставим \(x = 0\) в совокупность:

\[\left[\begin{array}{l}
\sqrt{3} - \sqrt{3} = 0,\quad (1)\\
\sqrt{a} - \sqrt{3} = 0,\quad(2)\\
\sqrt{a} - \sqrt{3} = 0.\quad(3)
\end{array}\right.\]

Мы видим, что \(\forall a \quad x_0 = 0\) является решением уравнения (1). Исходное уравнение будет иметь ровно одно решение тогда и только тогда, когда либо \(x_0 = 0\) является решением уравнений (2) и (3) (*), либо уравнения (2) и (3) не имеют решений (**).

\[(*)\quad \left[\begin{array}{l}
\sqrt{a} - \sqrt{3} = 0,\quad(2)\\
\sqrt{a} - \sqrt{3} = 0.\quad(3)
\end{array}\right. \quad\Leftrightarrow\quad a = 3.\]
\(\\\)

\((**) \quad \text{Рассмотрим следующую совокупность:}\)

\[\left[\begin{array}{l}
\sqrt{a - x^2} - \sqrt{3 - 2x - x^2} = 0,\\
\sqrt{a - x^2} - \sqrt{3 + 2x - x^2} = 0.
\end{array}\right. \quad\Leftrightarrow\]
\[\Leftrightarrow \quad \left\{\begin{array}{l}
3 + 2x - x^2 \geqslant 0,\\
3 - 2x - x^2 \geqslant 0,\\
x^2 \leqslant a,\\
\left[\begin{array}{l}
a - x^2 = 3 - 2x - x^2,\\
a - x^2 = 3 + 2x - x^2.
\end{array}\right.
\end{array}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \\ \]

\[ \quad\Leftrightarrow\quad
\left\{\begin{array}{l}
(3-x)(1+x) \geqslant 0,\\
(3+x)(1-x) \geqslant 0,\\
-\sqrt{a} \leqslant x \leqslant \sqrt{a},\\
\left[\begin{array}{l}
a = 3 - 2x,\\
a = 3 + 2x.
\end{array}\right. \end{array}\right. \quad\Leftrightarrow\]
\[\Leftrightarrow\quad
\left\{\begin{array}{l}
-1 \leqslant x\leqslant 3,\\
-3 \leqslant x \leqslant 1,\\
-\sqrt{a} \leqslant x \leqslant \sqrt{a},\\
\left[\begin{array}{l}
x = \dfrac{3-a}{2},\\
x = \dfrac{a-3}{2}.
\end{array}\right.\end{array}\right. \quad\Leftrightarrow\]
\[\Leftrightarrow\quad
\left\{\begin{array}{l}
-1 \leqslant x \leqslant 1,\\
-\sqrt{a} \leqslant x \leqslant \sqrt{a},\\
\left[\begin{array}{l}
x = \dfrac{3-a}{2},\\
x = \dfrac{a-3}{2}.
\end{array}\right.\end{array}\right. \quad\Leftrightarrow \]

\[ \Leftrightarrow\quad
\left\{\begin{array}{l}
\left[\begin{array}{l}
-1 \leqslant x \leqslant 1\quad\text{при}\quad a \geqslant 1,\\
-\sqrt{a} \leqslant x \leqslant \sqrt{a} \quad\text{при}\quad a \in [0;1),
\end{array}\right.\\
\left[\begin{array}{l}
x = \dfrac{3-a}{2},\\
x = \dfrac{a-3}{2}.\end{array}\right.\end{array}\right. \quad\Rightarrow\]
\[\Rightarrow\quad
\left[\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{l}
a \geqslant 1,\\
-1 \leqslant \dfrac{a-3}{2} \leqslant 1,
\end{array}\right.\quad\quad(2.1)\\
\left\{\begin{array}{l}
a \in [0;1),\\
-\sqrt{a} \leqslant \dfrac{a-3}{2} \leqslant \sqrt{a}.
\end{array}\right.\quad(2.2)\end{array}\right.\]

\[(2.1) \quad\Leftrightarrow\quad a \in [1;5].\].
\(\\\)
\(\text{При}\quad a \in [0;1) \quad \sqrt{a} <1< \left|\dfrac{a-3}{2}\right| \leqslant \dfrac{3}{2} \quad\Rightarrow \quad(2.2) \quad\Leftrightarrow\quad a = \varnothing\).
\(\\\)

Таким образом, мы видим, что совокупность не имеет решений при \(a \in [0;1) \cup (5; +\infty),\) то есть исходное уравнение имеет ровно одно решение при \(a \in [0;1) \cup \{3\} \cup (5; +\infty)\).
\(\\\)

\(\textbf{Авторское решение:}\)
\(\\\)

Заметим, что \(3 \pm 2x - x^2 = 2^2 - (x \mp 1)^2.\) Стало быть, графики функций \(\sqrt{3 + 2x - x^2}\) и \(\sqrt{3 - 2x - x^2}\) - верхние половины окружностей радиуса 2 с центрами в точках (1,0) И (-1,0). График же функции \(\sqrt{a - x^2}\) - верхняя половина окружности радиуса \(\sqrt{a}\) с центром в точке (0,0). Первые две полуокружности имеют одну общую точку - (0, \(\sqrt{3}\)). При этом ОДЗ \(x\) является пересечением отрезков [-1,1] и [\(-\sqrt{a},\sqrt{a}\)]. Соответственно, при \(a\) < 1 третья полуокружность первые две не пересекает, и решение будет одно. При \(1 \leqslant a \leqslant 5\) третья полуокружность пересекает первые две в точках с абсциссами из отрезка [-1,1], и точки пересечения совпадают только при \(a\) = 3. При \(a\) > 5 третья полуокружность либо пересекает первые две в точках с абсциссами по модулю больше 1, либо не пересекает вообще. Стало быть, решение будет единственным при \(a \in [0;1) \cup \{3\} \cup (5; +\infty).\)

Ответ: \([0;1) \cup \{3\} \cup (5; +\infty)\).