2582. Применяя почленное дифференцирование и интегрирование, найти сумму ряда:
\[{\quad 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3x + 3 \cdot 4{x^2} + \ldots + n(n + 1){x^{n - 1}} + }\]

Решение

Почленно интегрируем ряд:
\[ {2x + 3{x^2} + 4{x^3} + \ldots + (n + 1) \cdot {x^n}} \]
Ещё раз почленно интегрируем:
\[ {{x^2} + {x^3} + {x^4} + \ldots + {x^{n + 1}}}\\
{\sum\limits_{n = 1}^\infty {{x^{n + 1}}} = \frac{{{x^2}}}{{1 - x}}}\\ \]
Дифференцируем сумму:
\[{\sum\limits_{n = 1}^\infty {(n + 1)} \cdot {x^n} = \frac{{2x(1 - x) + {x^2}}}{{{{(1 - x)}^2}}} = \\
= \frac{{2x - 2{x^2} + {x^2}}}{{{{(1 - x)}^2}}} = \frac{{2x - x^2}}{{{{(1 - x)}^2}}}} \]
Ещё раз дифференцируем:
\[S(x) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {n(n + 1)} \cdot {x^n} = {\left( {\frac{{2x - {x^2}}}{{{{(1 - x)}^2}}}} \right)^\prime } = \\
= \frac{{(2 - 2x){{(1 - x)}^2} + 2(1 - x)(2x - {x^2})}}{{{{(1 - x)}^4}}} = \\
= \frac{{2 - 2x - 2x + 2{x^2} + 4x - 2{x^2}}}{{{{(1 - x)}^3}}} = \frac{2}{{{{(1 - x)}^3}}}\]

Ответ: \[S(x) = \frac{2}{{{{(1 - x)}^3}}}\].