Дан \(\href{https://examp.info/onedef/pryamougolnyj-parallelepiped/}{\text{прямоугольный параллелепипед}}\) \(ABCDA'B'C'D'\) с боковыми ребрами \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\), \(DD'\). На ребрах \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) нижнего основания отмечены соответственно точки \(K\), \(L\), \(M\), \(N\) таким образом, что \(AK:KB = 7:9\), \(BL:LC = 2:1\), \(CM:MD = 3:1\), \(DN:NA = 2:1\). Пусть \(P\), \(Q\), \(R\) – центры сфер, описанных около тетраэдров \(AKNA'\), \(BLKB'\), \(CMLC'\) соответственно. Найдите \(PQ\), если известно, что \(QR = 1\) и \(AB:BC = 4:3\).

Решение

Обозначим \(AA' = h, AB = 16x\). Тогда \(BC = 12x, AK=7x, KB=9x, BL = 8x, LC = 4x, CM = 12x, MD = 4x, DN = 8x, NA = 4x\).
Рассмотрим тетраэдр \(AKNA'\). Достроим его до параллелепипеда (зелёный пунктир). Тогда центр \(P\) сферы, описывающий тетраэдр, будет также центром сферы, описанной вокруг данного параллелепипеда и будет являться пересечением диагоналей \(KN'\) и \(NK'\).
Аналогично рассмотрим тетраэдры \(BLKB'\) и \(CMLC'\).
Введём прямоугольную систему координат с центром в \(A\) и осями \(AB, AD, AA'\). Тогда координаты точки \(P = \left(\frac{7}{2}x, 2x,\frac{h}{2}\right), Q = \left(\frac{23}{2}x,4x, \frac{h}{2}\right), R = \left(10x,10x,\frac{h}{2}\right)\).
Тогда, по условию:
\[1=QR=\sqrt{\mathstrut \left(10x-\frac{23}{2}x\right)^2+\left(10x-4x\right)^2 + 0} = \sqrt{\mathstrut \frac{9}{4}x^2 + 36x^2} \Rightarrow x^2 = \frac{4}{153}.\]
Найдём расстояние:
\[PQ = \sqrt{\mathstrut \left(\frac{23}{2}x-\frac{7}{2}x\right)^2+\left(4x-2x\right)^2 + 0} = \sqrt{\mathstrut 64x^2+4x^2} = \sqrt{\mathstrut 68x^2}.\]
Подставим найденный выше \(x^2\) и получим \(PQ = \sqrt{\mathstrut \frac{272}{153}}\).

Ответ: \(\sqrt{\mathstrut \frac{272}{153}}\).