Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}\) с боковыми ребрами \(AA^{\prime}\), \(BB^{\prime}\), \(CC^{\prime}\), \(DD^{\prime}\). На ребрах \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) нижнего основания отмечены соответственно точки \(K\), \(L\), \(M\), \(N\) таким образом, что \(AK:KB = 9:7\), \(BL:LC = 7:5\), \(CM:MD = 5:3\), \(DN:NA = 3:1\). Пусть \(P\), \(Q\), \(R\) – центры сфер, описанных около тетраэдров \(AKNA^{\prime}\), \(BLKB^{\prime}\), \(CMLC^{\prime}\) соответственно. Найдите \(QR,\) если известно, что \(PQ = 1\) и \(AB:BC = 4:3.\)

Решение

Обозначим \(AA^{\prime} = h, AB = 16x\). Тогда \(BC = 12x, AK=9x, KB=7x, BL = 7x, LC = 5x, CM = 10x, MD = 6x, DN = 9x, NA = 3x.\)
Рассмотрим тетраэдр \(AKNA^{\prime}.\) Достроим его до параллелепипеда (показано на правом рисунке синим пунктиром.) Тогда центр \(P\) сферы, описывающий тетраэдр, будет также центром сферы, описанной вокруг данного параллелепипеда и будет являться пересечением его диагоналей.
Аналогично рассмотрим тетраэдры \(BLKB^{\prime}\) и \(CMLC^{\prime}.\)
Введём прямоугольную систему координат с центром в \(A\) и осями \(AB, AD, AA^{\prime}.\) Тогда можно записать координаты точек \(P, Q, R.\) Как было сказано выше, они совпадают с пересечением диагоналей достроенных прямоугольников. Тогда \(\vec{AP}=\frac{1}{2}\cdot (\vec{AA^{\prime}}+\vec{AK}+\vec{AN}).\) Значит, \(P = \left(\frac{9}{2}x, \frac{3}{2}x,\frac{h}{2}\right).\) С помощью аналогичных рассуждений для двух других тетраэдров можно получить, что \[Q = \left(\frac{25}{2}x,\frac{7}{2}x, \frac{h}{2}\right), R = \left(11x,\frac{19}{2}x,\frac{h}{2}\right).\]

Тогда, по условию \(1=PQ=\sqrt{\mathstrut \left(\frac{25}{2}x-\frac{9}{2}x\right)^2+\left(\frac{7}{2}x-\frac{3}{2}x\right)^2 + 0} = \sqrt{\mathstrut 64x^2 + 4x^2} \Rightarrow x^2 = \frac{1}{68}\).
Найдём расстояние \(QR = \sqrt{\mathstrut \left(\frac{22}{2}x-\frac{25}{2}x\right)^2+\left(\frac{19}{2}x-\frac{7}{2}x\right)^2 + 0} = \sqrt{\mathstrut \frac{9}{4}x^2+36x^2} = \sqrt{\mathstrut \frac{153}{4}x^2}\). Подставим найденный выше \(x^2\) и получим \(QR = \sqrt{\mathstrut \frac{153}{272}}=\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}.\)

Ответ: \(\frac{3}{4}.\)