Решите уравнение \(2\cos 2x + 3\sin 2x + 4\cos^2 x = \hspace{0.1cm}-1\).

Решение

Используя \(\href{https://examp.info/theorem/preobrazovaniya-summy-i-proizvedeniya-trigonometricheskih-funkcij/}{\text{формулы преобразования}}\), упростим тригонометрическое выражение:
\[
2(2\cos^2 x - 1) + 6\sin x\cos x + 4\cos^2 x = -1 \quad\Leftrightarrow
\]\[
\Leftrightarrow\quad 8\cos^2 x + 6\sin x\cos x = 1 \quad\Leftrightarrow
\]\[
\Leftrightarrow\quad 8\cos^2 x + 6\sin x\cos x = \cos^2 x + \sin^2 x \quad\Leftrightarrow
\]\[
\Leftrightarrow\quad 7\cos^2 x + 6\sin x\cos x - \sin^2 x = 0 \quad\Leftrightarrow
\]\[
\Leftrightarrow\quad \sin^2 x - 6\sin x\cos x - 7\cos^2 x = 0 \quad\Leftrightarrow
\]\[
\Leftrightarrow\quad \text{tg}^2 x - 6\text{tg}\, x - 7 = 0 \quad\text{(поделили на } \cos x \neq 0) \quad\Leftrightarrow
\] \[
\Leftrightarrow\quad \left[
\begin{array}{c}
\text{tg}\, x = -1 \\
\text{tg}\, x = 7
\end{array}
\right. \quad\Leftrightarrow
\]\[
\Leftrightarrow\quad \left[
\begin{array}{l}
x = -\dfrac{\pi}{4} + \pi n \\
x = \mathop{\mathrm{arctg}} 7 + \pi n.
\end{array}
\right.
\]

Ответ: \(-\frac{\pi}{4} + \pi n, \mathop{\mathrm{arctg}} 7 + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}\).