Окружность касается середины стороны \(AC\) треугольника \(ABC\) и пересекает сторону \(BC\) в точках \(K\) и \(L\), так что \(BK = KL = LC\). Чему может равняться радиус окружности, если \(\angle ABC = 45^{\circ}\) и \(AB = 1\)?

Решение

1) Обозначим точки, как на рисунке. Положим \(CH = x, CL = y.\) Тогда, \(\href{https://examp.info/theorem/o-sekushej-i-kasatelnoj/}{\text{по теореме о касательной и секущей}}\): \(CH^2 = CL\cdot CK,\) т.е. \(x^2 = 2y^2.\)
2) С другой стороны, по теореме косинусов в \(\triangle ABC: AB^2 + BC^2 - 2AB\cdot BC\cdot \ cos 45^{\circ} = AC^2,\) т.е. \(1 + 3y^2 - 3\sqrt2y = x^2 = 2y^2,\) откуда находим \(y = \frac{3\sqrt2 \pm \sqrt{14}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{7}}{\sqrt2}.\) Следовательно \(x = \sqrt2;\quad y = 3 \pm \sqrt{7}.\)
3) \(\href{https://examp.info/theorem/o-sekushej-i-kasatelnoj/}{\text{По теореме о касательной и секущей}}\) имеем: \(AP\cdot AO = x^2, CR\cdot CO = x^2, BQ\cdot BO = 2y^2 = x^2.\) Если обозначать за \(z_1, z_2, z_3\) длины отрезков \( AP, CR, BQ,\) то все они будут удовлетворять квадратному уравнению \(z_i(z_i + r) - x^2 = 0.\) Его корни, \(\href{https://examp.info/theorem/teorema-vieta/}{\text{по теореме Виета}}\), разных знаков, а длина не может быть отрицательной, поэтому единственный положительный корень соответствует длинам всех трёх отрезков. Отсюда \(\triangle AOB\) и \(\triangle COB\) равнобедренные.
4) Вычисляя \(\angle AOB\) и \(\angle COB\) по сумме углов треугольника. получаем, что \(\angle AOB + \angle COB = 360^{\circ} - 2\cdot 45^{\circ} = 270^{\circ},\) поэтому \(\triangle AOC\) прямоугольный. Но \(OH\) медиана, проведённая к гипотенузе, поэтому \(r = x = 3 \pm \sqrt{7}.\)

Ответ: \(3 \pm \sqrt{7}\).