В основании \(\href{https://examp.info/onedef/prizma/}{\text{прямой призмы}}\) лежит квадрат со стороной 1. Высота призмы равна \(\sqrt{3}\). Найдите расстояния между большой диагональю призмы и \(\href{https://examp.info/onedef/skreshivayushiesya-pryamye/}{\text{скрещивающейся}}\) с ней диагональю боковой грани.

Решение

Пусть \(ABCD\) и \(A'B'C'D'\) \(-\) основания призмы, \(AA', BB', CC', DD'\) \(-\) её боковые рёбра. Поскольку все пары скрещивающихся диагоналей боковых граней переходят друг в друга при поворотах относительно оси симметрии призмы и симметрий относительно вертикальных плоскостей симметрии, без ограничения общности, можно взять диагонали \(DB'\) и \(BA'\).
Расстояние между прямыми \(DB'\) и \(BA'\) достигается на отрезке \(XY\) с концами на этих прямых, перпендикулярном им обеим. Проведём через точку \(B'\) прямую параллельную \(A'B\). Обозначим точку пересечения этой прямой с прямой \(AB\) через \(L\). Отрезок \(XY\) перпендикулярен прямой \(A'B\) и плоскости \(DB'L\). Следовательно, его длинна равна расстоянию от точки \(B\) до плоскости \(DB'L\). Остаётся найти это расстояние.
Обозначим длину стороны основания через \(a\), а высоту призмы через \(h\). Рассмотрим три попарно-ортогональные прямые \(-\) \(BL, BB'\) и \(BC\), проходящие через точку \(B\). Пусть \(L'\) точка пересечения нашей плоскости с отрезком \(BC\), тогда так как \(A'B' || BL, A'B || B'L\) \(A'B'LB\) является параллелограммом и \(AB = A'B' = BL\), следовательно, в треугольнике \(LAD\) \(AL = 2BL, L'B || DA\) и получатся это \(\href{https://examp.info/theorem/o-srednej-linii-treugolnika/}{\text{средняя линия}}\), и получается \(BL' = \frac{1}{2}a\). В соответствующей этим прямым системе координат плоскость \(AB'D\) \(\href{https://examp.info/theorem/uravnenie-ploskosti-v-otrezkah/}{\text{задаётся уравнением}}\):\[
\frac{x}{a} + \frac{y}{h} + \frac{2z}{a} = 1.
\] Стало быть нормаль к поверхности выглядит так \[\frac{\left( \frac{1}{a}, \frac{1}{h}, \frac{2}{a}\right)}{\sqrt{\frac{5}{a^2} + \frac{1}{h^2}}}.
\] Умножая его скалярно на вектор \((a, 0, 0)\), получаем, что \(\href{https://examp.info/theorem/rasstoyanie-ot-tochki-do-ploskosti/}{\text{расстояние}}\) от \(B\) до плоскости \(DB'L\) равно\[
\frac{ah}{\sqrt{a^2 + 5h^2}}.
\] Подставляя \(a = 1, h = \sqrt{3}\) получаем ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)

Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{4}\).