Найдите все положительные \(x\), удовлетворяющие неравенству \(x^{4x - 5} > x^{-2}\).

Решение

Для положительных \(x\) имеем
\[x^{4x - 5} > x^{-2}. \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow x^{4x -3} > 1. \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow e^{(4x-3)\ln x} > 1. \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow (4x-3)\ln x > 0.\]К последнему неравенству применим последовательно \(\href{https://examp.info/theorem/metod-racionalizacii/}{\text{метод рационализации}}\), а затем \(\href{https://examp.info/theorem/intervalov/}{\text{метод интервалов}}\)\[(4x-3)\ln x > 0. \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
(4x-3)(x-1) > 0, \\
x > 0.
\end{array}\right. \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow x \in \left(0, \dfrac{3}{4}\right) \cup (1, +\infty).\]

Ответ: \(\left(0, \dfrac 34 \right) \cup \left( 1, +\infty \right)\).