Ровно в \(9:00\) из пункта А в пункт Б выехал автомобиль. Проехав две трети пути, наблюдательный водитель автомобиля заметил, что мимо него в сторону пункта А проехал некий велосипедист. В тот самый момент, когда автомобиль прибыл в пункт Б, из пункта Б в пункт А выехал автобус. Когда до пункта А оставалось две пятых пути, не менее наблюдательный водитель автобуса заметил, что он поравнялся с тем самым велосипедистом. Во сколько приедет велосипедист в пункт А, если известно, что автобус прибыл в пункт А ровно в \(11:00\)? Скорости велосипедиста, автомобиля и автобуса считать постоянными.

Решение

1) Не ограничивая общности, можем считать, что расстояние между пунктами А и Б есть 1. Обозначим скорости автомобиля, автобуса и велосипедиста за \(v_1, v_2\) и \(v\) соответственно. Отсюда немедленно получаем следующие уравнения:
\(\hspace{1cm} \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} = 2\) условие того, что суммарное время автомобиля при движении от А до Б (оно равно \(\frac{1}{v_1}\)) и автобуса в дороге от Б до А (оно равно \(\frac{1}{v_2}\)) составляет 11 - 9 = 2 часа.
\(\hspace{1cm} \frac{4}{15 v} = \frac{1}{3 v_1} + \frac{3}{5 v_2}\) равенство времени велосипеда в пути между встречей с автомобилем и встречей с автобусом (путь равен 2/3 - 2/5 = 4/15, пройден со скоростью \(v\)) сумме времени автомобиля, затраченное на прохождение участка от 2/3 до Б (путь равен 1 - 2/3 = 1/3, скорость равна \(v_1\)) и времени автобуса, затраченное на прохождение участка от Б до 2/5 (путь равен 1 - 2/5 = 3/5, скорость равна \(v_2\)).
2) Пусть \(t\) — время, в которое автобус догнал велосипед. Тогда за время равное \(11 \hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm} t\) автобус проедет расстояние равное \(\frac25\) — именно столько ему остаётся до пункта А, в который он приезжает в 11 часов. Это отражает уравнение:
\[\hspace{1cm} 11 \hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm} t = \frac{2}{5 v_2}.\]
Обозначим за В точку, в которой оказался велосипед, когда автобус доехал до пункта А, то есть в 11 часов. Тогда расстояние АВ есть:
\[\hspace{1cm} \frac25 \hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm} (11 \hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm} t) \cdot v.\]
3) Пусть \(T\) — время прибытия велосипеда в пункт А. Тогда время прохождения велосипедом участка пути АВ есть \(T \hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm} 11.\) Отсюда вытекает следующее уравнение:
\[\frac{\frac25 \hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm} (11 \hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm} t) \cdot v}{v} = T \hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm} 11 \Rightarrow\]\[ T = 11 + \frac{2}{5 v} \hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm} (11 \hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm} t) \Rightarrow\]\[ T = 11 + \frac{2}{5 v} \hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm} \frac{2}{5 v_2}.\]
Вспоминая, что \(\frac{4}{15 v} = \frac{1}{3 v_1} + \frac{3}{5 v_2}\), получаем:
\[T = 11 + \frac{1}{2 v_1} + \frac{9}{10 v_2} \hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm} \frac{2}{5 v_2} \Rightarrow\]\[T = 11 + \frac12 (\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}) = 12.\]

Ответ: 12:00.