Решите систему уравнений \( \left\{ \begin{array}{l} \frac{x}{\sin(x^2 - y^2)} + y \cdot \mathop{\mathrm{ctg}}(x^2 - y^2) = \sqrt{\frac{2\pi}{3}} \, , \\ \frac{y}{\sin(x^2 - y^2)} + x \cdot \mathop{\mathrm{ctg}}(x^2 - y^2) = -\sqrt{\frac{\pi}{2}} \, . \end{array} \right.\)

Решение

Рассмотрим сумму и разность первого и второго уравнения:
\[(x + y)\left(\frac{1}{\sin(x^2 - y^2)} + \text{ctg}(x^2 - y^2)\right) = \sqrt{\dfrac{2\pi}{3}} - \sqrt{\dfrac{\pi}{2}},\] \[(x - y)\left(\frac{1}{\sin(x^2 - y^2)} - \text{ctg}(x^2 - y^2)\right) = \sqrt{\dfrac{2\pi}{3}} + \sqrt{\dfrac{\pi}{2}}.\] Перемножим эти два равенства: \[(x^2\ -y^2)\left(\frac{1}{\sin^2(x^2\ - y^2)} - \text{ctg}^2(x^2\ - y^2)\right) = \dfrac{\pi}{6},\] откуда \(x^2\ - y^2=\dfrac{\pi}{6}\). Подставляя в исходную систему, получаем \[
\left\{ \begin{array}{l}
2x + \sqrt{3}y=\sqrt{\dfrac{2\pi}{3}},\\
2y + \sqrt{3}x=-\sqrt{\dfrac{\pi}{2}};
\end{array}\right. \Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}y + \sqrt{\dfrac{\pi}{6}}, \\
2y \ - \dfrac 32 y+\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}=-\sqrt{\dfrac{\pi}{2}},
\end{array}\right. \Leftrightarrow\] \[ \Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
x = \sqrt{\dfrac{\pi}{6}} + \sqrt{6\pi} = \sqrt{\dfrac{\pi}{6}} + 6\sqrt{\dfrac{\pi}{6}} = 7\sqrt{\dfrac{\pi}{6}}, \\
y = -2\sqrt{2\pi}.
\end{array}\right.
\] Остаётся заметить, что полученные значения удовлетворяют условию \(x^2\ -y^2=\dfrac{\pi}{6}\).

Ответ: \(x = 7\sqrt{\dfrac{\pi}{6}}\), \(y = -2\sqrt{2\pi}\).