Найдите все пары \((\alpha, \beta)\), при которых достигается минимум выражения \(\dfrac{4 - 3\cos\alpha}{2 - \cos 2\alpha} + \dfrac{2 - \cos 2\alpha}{2\beta^4 + \beta^2 + 1} + \dfrac{2\beta^4 + \beta^2 + 1}{|\beta| + 1} + \dfrac{|\beta| + 1}{4 - 3\cos \alpha}.\)

Решение

Заметим, что все числители и знаменатели положительны. Заметим также, что для любых положительных \(a, b, c, d\) \(\href{https://examp.info/theorem/neravenstva-o-srednih/}{\text{справедливо}}\)\[
\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a} \geqslant 2 \sqrt{\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{c}}+2 \sqrt{\dfrac{c}{d} \cdot \dfrac{d}{a}}=2 \sqrt{\dfrac{a}{c}}+2 \sqrt{\dfrac{c}{a}} \geqslant 4 \sqrt{\sqrt{\dfrac{a}{c}} \cdot \sqrt{\dfrac{c}{a}}}=4,
\]
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда\[
a=b=c=d.
\]
Получаем систему уравнений\[
\left\{\begin{array}{l}
4-3 \cos \alpha=2-\cos 2 \alpha \\
4-3 \cos \alpha=|\beta| + 1 \\
2\beta^{4}+\beta^{2}+1=|\beta| + 1
\end{array}\right.
\]
Первое уравнение из системы переписывается как\[
2 \cos ^{2} \alpha-3 \cos \alpha+1=0
\]
откуда либо \(\cos \alpha=1,\) либо \(\cos \alpha=1 / 2.\) При этих значениях \(\alpha\) выражение \(4-3 \cos \alpha\) равно соответственно 1 и \(5 / 2.\)

Из второго уравнения следует, что либо \(\cos\alpha=\dfrac{3-\beta}{3}\), если \(\beta \geqslant 0\), либо \(\cos\alpha=\dfrac{3+\beta}{3}\), если \(\beta < 0\).

Рассмотрим третье уравнение. \(\beta = 0\) — корень данного уравнения. Если \(\beta > 0\), то \(\beta\) находится в промежутке \(\left(0;1\right)\), если же \(\beta < 0\), то \(\beta\) находится в промежутке \(\left(-1;0\right).\) Однако тогда \(\dfrac{3-\beta}{3}\) и \(\dfrac{3+\beta}{3}\) находятся в промежутке \(\left(\dfrac{2}{3};1\right)\), и ни одно \(\alpha\) не удовлетворяет одновременно уравнениям 1 и 2. Следовательно, только \(\beta = 0\) удовлетворяет системе. При этом \(\alpha = 2\pi n.\)

Ответ: \(\alpha = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \beta = 0\).