В правильную треугольную призму с основаниями \(ABC\), \(A'B'C'\) и ребрами \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\) вписана сфера. Найдите ее радиус, если известно, что расстояние между прямыми \(A'K\) и \(B'L\) равно \(\sqrt{21}\), где \(K\) и \(L\) – точки, лежащие на \(AB\) и \(BC\) соответственно, и \(AK:KB = BL:LC = 2:3\).

Решение

1) Обозначим за \(r\) радиус сферы, тогда высона призмы (или что то же самое боковое ребро) равна \(2r.\) Рассмотрим сечение призмы плоскостью параллельной основаниям, проходящей через центр сферы. Это равносторонний \(\triangle A''B''C''\) со вписанной окружностью радиуса \(r.\) Тогда высота, она же и медиана \(C''H = 3r,\) т.к. медианы делятся точкой пересечения в отношении \(1:2.\) Значит сторона этого треугольника (или что то же самое ребро основания) равна \(2\sqrt3r.\)

2) Отложим на луче \(AB\) за точку \(B\) отрезок \(BM,\) равный по длине отрезку \(AK.\) Рассмотрим параллелепипед, натянутый на векторы \(MA, MC, MB'.\) Его объём можно посчитать как \(V = \frac13Sh,\) где \(S\) - площадь одной из его граней, а \(h\) - высота, опущенная к этой грани из одной из вершин, не лежащих в неё (или что то же самое расстояние до параллельной грани). Посчитаем его двумя способами: \(V = \frac13S_{KML}B'B = \frac13S_{LMB'}d,\) где \(S_{KML}\) - площадь основания, натянутого на векторы \(MK\) и \(ML, S_{LMB'}\) - площадь основания, натянутого на векторы \(ML\) и \(MB',\) а \(d\) - расстояние между плоскостью \(LMB'\) и ей параллельной
(т.е. \(d = \sqrt{21}\)).

3) \(S_{KML} = 2(S_{\triangle LMB} + S_{\triangle KBL}).\) \[S_{\triangle LMB} = \frac12BL\cdot BM \sin 120^{\circ} = \frac12\frac25BC \cdot\frac25AB \frac{\sqrt3}{2} = \frac{\sqrt3}{25} (2\sqrt3r)^2 = \frac{12\sqrt3}{25}r^2.\] \[ S_{\triangle KBL} = \frac35\frac25 S_{\triangle ABC} = \frac{6}{25} 3\sqrt3r^2 = \frac{18\sqrt3}{25}r^2.\] Откуда \(S_{KML} = \frac{12\sqrt3}{5}r^2.\)

4) \( S_{LMB′} = 2S_{\triangle LMB′}.\) Для вычисления этой площади найдём длину основания этого треугольника \(ML\): \(\triangle LBM\) - равнобедренный, поэтому высота \(BS\) будет медианой \((LS = \frac12LM)\) и биссектрисой \((\angle LBS = 60^{\circ})\). Таким образом, \(LM = 2LS = \sqrt3LB = \frac{2\sqrt3}{5}CB = \frac{12}{5}r.\) Вычисляем высоту:
\[B'S = \sqrt{B'B^2 + BS^2} = \sqrt{4r^2 + (\frac12\frac252\sqrt3r)^2} = \frac{\sqrt{112}}{5}r = \frac{4\sqrt7}{5}r.\]
Откуда \( S_{LMB′} = \frac{48\sqrt7}{25}r^2.\)

5) Итак:
\[V = \frac13\frac{12\sqrt3}{5}r^2 2r = \frac13\frac{48\sqrt7}{25}r^2 \sqrt{21} \Rightarrow r = \frac{14}{5}.\]

Ответ: \(14/5\).