Две окружности касаются внутренним образом в точке \(A\). Хорда \(BC\) внешней окружности касается внутренней окружности в точке \(D\). Прямая \(AD\) пересекает внешнюю окружность в точках \(A\) и \(E\). Найдите \(BE\), если известно, что \(EC = CA\), площадь четырехугольника \(ABEC\) равна \(3\sqrt{3}\), а радиусы окружностей относятся как \(2:3\).

Решение

1) Обозначим угол \(\angle AEC\) за \(\alpha\). Тогда \(\angle CAE = \angle AEC = \alpha\) как углы при основании равнобедренного треугольника \(\triangle ACE\). В свою очередь, \(\angle ABC = \angle CEA = \alpha\) как вписанные углы, опирающиеся на общую дугу \(\smallsmile AC.\)

2) Пусть \(M\) - точка пересечения заданных касательных \(l\) и \(k\) к меньшей окружности в точках \(A\) и \(D\) соответственно. Тогда угол \(\angle MAC\) между касательной \(l\) и хордой \(AC\) равен половине градусной меры дуги \(\smallsmile AC\). Этой же величине равняется вписанный угол \(\angle AEC\), опирающийся на ту же дугу. Поэтому \(\angle MAC = \angle AEC = \alpha.\)

3) \(MA = MD\) как отрезки касательных, проведённых из одной точки. Значит, \(\angle MDA = \angle MAD = 2\alpha\) как углы при основании равнобедренного треугольника \(\triangle AMD.\)

4) \(\angle EDC = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 2\alpha.\) Согласно формуле суммы углов треугольника для \(\triangle CDE\): \(\angle DCE = 180^\circ - \angle EDC \hspace{0.1cm} - \angle CED = \alpha.\) Вспомним, что \(\angle ABC = \alpha\), поэтому \(\angle BCE = \angle ABC\). Но это накрест лежащие углы для прямых \(CE\) и \(AB\) и секущей \(BC\). А это значит, что \(CE\) || \(AB\) и четырёхугольник \(ABEC\) - равнобокая трапеция (так как только такие трапеции бывают вписанными).

5) Пусть \(x\) - длина \(BE\), тогда \(CE = AC = x\). Заметим, что \(\triangle ECD\) подобен \(\triangle ABD\) по признаку подобия треугольников по двум углам (\(\angle ECD = \angle ABD = \alpha\), а \(\angle EDC = \angle ADB\) как вертикальные). Отсюда \(AB : CE = AD : ED \Rightarrow AB = x \cdot \frac{AD}{ED}.\)

6) Пусть линия центров второй раз пересекает меньшую и большую окружности в точках \(P\) и \(Q\) соответственно. Тогда \(\triangle APD\) подобен \(\triangle AQE\) по признаку подобия прямоугольных треугольников (\(\angle ADP = \angle AEQ = 90^\circ\) - вписанные углы, опирающиеся на диаметры; \(\angle DAP = \angle EAQ\) - совпадают). Поэтому \(AE : AD = AQ : AP = 3 : 2 \Rightarrow \frac{AD}{ED} = \frac{2}{3\hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm}2} = 2\) \(\Rightarrow AB = 2 x.\)

7) Опустим высоту \(CH\), тогда \(AH = \frac{1}{2}(AB - CE) = \frac12 x\) и из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника \(\triangle AHC\) получаем \(CH = \frac{\sqrt{3} x}{2}\). Согласно формуле площади трапеции: \(S_{ABEC} = \frac{AB + CE}{2} \cdot CH = \frac{2 x + x}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} x}{2} = \frac{3 \sqrt3 x^2}{4} = 3 \sqrt{3}.\) \(\Rightarrow x = 2.\)

Ответ: \(2\).