Найдите наименьшее значение выражения \[ \sqrt{157 + \log_a^2 \cos \frac xa \hspace{0.1cm}- \log_a \cos^{12} \frac xa} + \sqrt{29 + \log_a^2 \sin \frac xa + \log_a \sin^{4} \frac xa} + \\ + \sqrt{45 + \log_a^2 \mathop{\mathrm{tg}} \frac xa \hspace{0.1cm}- \log_a \mathop{\mathrm{tg}^{6}} \frac xa}\] и все пары \((a, x)\), при которых оно достигается.

Решение

\[ \sqrt{157 + \log_a^2 \cos \frac xa \hspace{0.1cm}- \log_a \cos^{12} \frac xa} + \sqrt{29 + \log_a^2 \sin \frac xa + \log_a \sin^{4} \frac xa} + \\ + \sqrt{45 + \log_a^2 \mathop{\mathrm{tg}} \frac xa \hspace{0.1cm}- \log_a \mathop{\mathrm{tg}^{6}} \frac xa} =\] \[ = \sqrt{157 + \log_a^2 \cos \frac xa \hspace{0.1cm}- 12 \log_a \cos \frac xa} + \sqrt{29 + \log_a^2 \sin \frac xa + 4 \log_a \sin \frac xa} + \\ + \sqrt{45 + \log_a^2 \mathop{\mathrm{tg}} \frac xa \hspace{0.1cm}- 6 \log_a \mathop{\mathrm{tg}} \frac xa} =\] \[ = \sqrt{11^2 + (6 \hspace{0.1cm}- \log_a \cos \frac xa)^2} + \sqrt{5^2 + (\log_a \sin \frac xa + 2)^2} + \\ +\sqrt{6^2 + (3 \hspace{0.1cm}- \log_a \mathop{\mathrm{tg}} \frac xa)^2}.\] Рассмотрим точки \(X = (11; 6 \hspace{0.1cm}- \log_a \cos \frac xa), Y = (5; \log_a \sin \frac xa + 2),\) \(Z = (6; 3 \hspace{0.1cm}- \log_a \mathop{\mathrm{tg}} \frac xa)\) на плоскости. Сумма первых координат \(= 11 + 5 + 6 = 22,\) а вторых координат \(= 6 \hspace{0.1cm}- \log_a \cos \frac xa + \) \(\log_a \sin \frac xa\ + 2 + 3 \hspace{0.1cm}- \log_a \mathop{\mathrm{tg}} \frac xa = 11\). Нужно минимизировать суммы расстояний от данных точек до начала координат. Оно будет минимальным, если все эти точки лежат на одной прямой, проходящей через точки \((0; 0)\) и \((22; 11).\) Это означает: \[
\begin{cases}
6 \hspace{0.1cm}- \log_a \cos \frac xa = \frac{11}{2}\\
\log_a \sin \frac xa + 2 = \frac52\\
3 \hspace{0.1cm}- \log_a \mathop{\mathrm{tg}} \frac xa = 3
\end{cases}
\Rightarrow\] \[
\begin{cases}
\cos \frac xa = a^{\frac12}\\
\sin \frac xa = a^{\frac12}\\
\mathop{\mathrm{tg}} \frac xa = 1
\end{cases}
\] Третье равенство следует из первых двух. По основному тригонометрическому тождеству из \(\cos \frac xa = \sin \frac xa = a^{\frac12}\) следует, что \(1 = 2 a\). Откуда \(a = \frac12\), и: \[
\begin{cases}
\cos 2 x = \frac{1}{\sqrt2}\\
\sin 2 x = \frac{1}{\sqrt2}
\end{cases}
\Rightarrow\] \[2 x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n\Rightarrow\] \[x = \frac{\pi}{8} + \pi n ,n \in \mathbb{Z}.\] Само значение выражения равняется \(11\sqrt{5}.\)

Ответ: \(11\sqrt{5}, a = 1/2, x = \frac{\pi}{8} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}\).