Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением \(\sqrt{6 + 4\sqrt{2}} \cdot \left(8 - 4\sqrt{2} \right)\).

Решение

преобразуем выражение и в конце воспользуемся формулой разницы квадратов:
\[\sqrt{6 + 4\sqrt{2}} \cdot \left(8 - 4\sqrt{2} \right) = \sqrt{2 + 2 \cdot 2\sqrt{2} +4} \cdot \left(8 - 4\sqrt{2} \right) = \sqrt{\left(2 + \sqrt{2}\right)^2} \cdot \left(8 - 4\sqrt{2} \right) = 4(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2}) = 4(4 - 2) = 8.\]

Ответ: \(8\).