Решите систему уравнений \(\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{x}{\cos(x^2\ - y^2)}\ - y \cdot \mathop{\mathrm{tg}}(x^2\ - y^2) = \sqrt{\dfrac{\pi}{2}} \, \\ \dfrac{y}{\cos(x^2\ - y^2)}\ - x \cdot \mathop{\mathrm{tg}}(x^2\ - y^2) = \sqrt{\dfrac{\pi}{3}} \, \end{array} \right.\) .

Решение

Рассмотрим сумму и разность первого и второго уравнения:
\[(x+y)\left(\frac{1}{\cos(x^2\ - y^2)}\ - \mathop{\mathrm{tg}}(x^2\ - y^2)\right) = \sqrt{\dfrac{\pi}{2}}+\sqrt{\dfrac{\pi}{3}},\]
\[(x\ -y)\left(\frac{1}{\cos(x^2\ - y^2)}+ \mathop{\mathrm{tg}}(x^2\ - y^2)\right) = \sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\ -\sqrt{\dfrac{\pi}{3}}.\]
Перемножим эти два равенства:
\[(x^2\ -y^2)\left(\frac{1}{\cos^2(x^2\ - y^2)} - \text{tg}^2(x^2\ - y^2)\right) = \dfrac{\pi}{6},\]
откуда \(x^2\ - y^2=\dfrac{\pi}{6}\). Подставляя в исходную систему, получаем
\[
\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{2}{\sqrt 3}x\ - \dfrac{1}{\sqrt{3}}y=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\\
\dfrac{2}{\sqrt 3}y\ - \dfrac{1}{\sqrt{3}}x=\sqrt{\dfrac{\pi}{3}}
\end{array}\right. \Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
2x\ -y=\sqrt{\dfrac{3\pi}{2}} \\
2y\ -x=\sqrt{\pi}
\end{array}\right. \Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{2\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3\sqrt{2}} \cdot \sqrt{\pi} \\
y = \dfrac{\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} \cdot \sqrt{\pi}
\end{array}\right.
\]
Остаётся заметить, что полученные значения удовлетворяют условию \(x^2\ -y^2=\dfrac{\pi}{6}\).

Ответ: \(x = \dfrac{2\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3\sqrt{2}} \cdot \sqrt{\pi}, \ \ y = \dfrac{\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} \cdot \sqrt{\pi}\).