Найдите все \(x\) и \(y\) на интервале \(\left( 0, \dfrac{\pi}{2} \right)\), удовлетворяющие системе уравнений \( \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{\cos^3 x} + \dfrac{1}{\sin^3 y} = 16, \\ \mathop{\mathrm{tg}}^2 x + \mathop{\mathrm{ctg}}^2 y = 6. \end{array} \right. \)

Решение

Положим \(a = \frac{1}{\cos x}, b = \frac{1}{\sin y}\),т.к. \(x,y \in (0,\frac{\pi}{2})\), тогда \(a>0\) и \(b>0\). Зная, что:
\begin{gather*}
\mathop{\mathrm{tg^2}} x=\frac{1}{\cos^2 x}-1, \ \\
\mathop{\mathrm{ctg^2}} y=\frac{1}{\sin^2 y}-1,
\end{gather*}
исходная система принимает вид:
\begin{gather*}
\left \{
\begin{array}{lcl}
a^3+b^3=16,\\
a^2 + b^2 = 8.
\end{array}
\right.
\end{gather*}
Еще раз сделаем замену: положим \(u = a+b, v = ab\). Тогда \(u > 0, v > 0,\)
\begin{gather*}
a^2 + b^2 = u^2 - 2v, \ \\
a^3 + b^3 = \left(a+b\right)\left(a^2 - ab + b^2\right) = u\left(u^2-3v\right).
\end{gather*}
Получаем
\begin{gather*}
\left \{
\begin{array}{l}
u\left(u^2-3v\right) = 16, \\
u^2 - 2v = 8.
\end{array}
\right.
\Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow
\left \{
\begin{array}{l}
u^3 - 24u + 32 =0,\\
v = \frac{u^2}{2} -4.
\end{array}
\right.
\Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow
\left \{
\begin{array}{l}
\left(u-4\right)\left(u^2 +4u -8\right) = 0,\\
v = \frac{u^2}{2} - 4.
\end{array}
\right.
\Leftrightarrow \ \\
\Leftrightarrow
\left \{
\begin{array}{l}
\left(u - 4\right)\left(2v+4u\right) = 0, \\
v = \frac{u^2}{2} - 4.
\end{array}
\right.
\end{gather*}
Откуда в силу положительности \(u, v\) следует, что
\begin{gather*}
\left\{
\begin{array}{l}
u = 4, \\
v = 4
\end{array}
\right.
\Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow
\left \{
\begin{array}{l}
a = 2, \\
b = 2.
\end{array}
\right.
\Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow
\left \{
\begin{array}{l}
\cos x = \frac{1}{2}, \\
\sin y = \frac{1}{2}.
\end{array}
\right. \Rightarrow \\
\Rightarrow
\left \{
\begin{array}{l}
x = \frac{\pi}{3}, \\
y = \frac{\pi}{6}.
\end{array}\right.
\end{gather*}

Ответ: \(\left( \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6} \right)\).