Решите неравенство \(\log_{1 - \log_x 2}\left( 1 + \log^2_2 x \right) \leqslant 1.\)

Решение

Заметим, что при любом допустимом значении \(x\) выражение \(\log_2 x\) будет отлично от нуля (т.к. только логарифм от единицы равен нулю, но \(x\) стоит в основании другого логарифма, потому нулём быть не может) \(\Rightarrow \log^2_2 x + 1 > 1 \)

Если \(0 < 1 \hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\log_x 2 < 1 < \log^2_2 x + 1\), то логарифм по такому основанию от числа большего единицы будет отрицательным (т.к. в этом случае логарифм строго монотонно убывает, а его значение в единице равно нулю). В частности, будет выполнено неравенство в условии.

Если \(1 \hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\log_x 2 > 1\), то логарифм по такому основанию строго монотонно возрастает \(\Rightarrow\) неравенство в условии будет выполняться при \(1 \hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\log_x 2 \geqslant \log^2_2 x + 1 > 1.\)

Случай \(1 \hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\log_x 2 = 1\) мы не рассматриваем (т.к. данное выражение стоит в основании логарифма).

Из вышеперечисленного следует:
\[\log_{1 \hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\log_x 2}\left( 1 + \log^2_2 x \right) \leqslant 1. \iff\]\[\iff \left[
\begin{array}{l}
0 < 1 \hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\log_x 2 < 1,\\
1 \hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm}\log_x 2 \geqslant 1 + \log^2_2 x.
\end{array}
\right.
\iff\]\[\iff \left[
\begin{array}{l}
0 < \log_x 2 < 1,\\
\log_x 2 + \log^2_2 x \leqslant 0.
\end{array}
\right.\iff\]
По \(\href{https://examp.info/theorem/logarifma/}{\text{свойствам логарифма}}\)
\(\log_2 x = \dfrac{1}{\log_x 2},\)
поэтому:
\[\left[
\begin{array}{l}
0 < \log_x 2 < 1,\\
\log_x 2 + \frac{1}{\log^2_x 2} \leqslant 0.
\end{array}
\right.\iff\]\[\iff \left[
\begin{array}{l}
0 < \log_x 2 < 1,\\
\log^3_x 2 + 1 \leqslant 0.
\end{array}
\right.\iff\]\[\iff \left[
\begin{array}{l}
0 < \log_x 2 < 1,\\
\log_x 2 \leqslant \hspace{0.1cm} -1. \quad(\ast)
\end{array}
\right.\]
Вновь используя свойство логарифма, но уже в обратную сторону, получаем равносильную совокупность:
\[\left[
\begin{array}{l}
\log_2 x > 1,\\
0 > \log_2 x \geqslant \hspace{0.1cm} -1.
\end{array}
\right.\iff\]\[\iff \left[
\begin{array}{l}
x > 2,\\
1 > x \geqslant \frac12.
\end{array}
\right.\]

\((\ast)\) Не стоит забывать, что логарифм в этом случае должен быть отрицательным, а по модулю он должен быть больше 1. Но это в точности равносильно тому, что "перевёрнутый" логарифм отрицателен и по модулю не превосходит 1. Это и было использовано при переходе.

Ответ: \(\left[\dfrac 12, 1 \right) \cup (2, \infty)\).