Решите неравенство \(\cos x - \sqrt{2} \cos 2x + \sin x \leqslant 0\).

Решение

Преобразуем \[\cos x -\sqrt{2}\cos 2x+\sin x =\]\[=\cos x -\sqrt{2}\left(\cos^2 x-\sin^2 x\right)+\sin x=\]\[=\left(\cos x+\sin x\right)\left(-\sqrt{2}\left(\cos x-\sin x\right)+1\right)=\]\[=2\sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\left(\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)+\dfrac{1}{2}\right)\leqslant0.\]
В последнем равенстве используется \(\href{https://examp.info/theorem/vspomogatelnogo-ugla/}{\text{метод вспомогательного угла}}\)
Верно, если удовлетворяет системе
\[\left[
\begin{gathered}
\left\{
\begin{array}{l}
\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\geqslant 0;\\
\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\leqslant -\dfrac{1}{2};\\
\end{array}
\right.
\\
\left\{
\begin{array}{l}
\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\leqslant 0;\\
\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\geqslant -\dfrac{1}{2}.\\
\end{array}
\right.
\end{gathered}
\right.\]
В этом случае \(\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\in \left[-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k;-\dfrac{\pi}{6}+ 2\pi k\right]\cup\left[\dfrac{\pi}{2}+2\pi k;\dfrac{7\pi}{6}+ 2\pi k\right], k\in \mathbb{Z}.\)
Тогда \(x\in \left[-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k;\dfrac{\pi}{12} +2\pi k\right]\cup\left[\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k;\dfrac{17\pi}{12} +2\pi k\right], k\in \mathbb{Z}.\)

Ответ: \(\left[\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{17\pi}{12} + 2\pi n \right] \cup \left[-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{12} + 2\pi n \right], \ n \in \mathbb{Z}\).