Найдите все \(x\) и \(y\) на интервале \(\left( 0, \frac{\pi}{2} \right)\), удовлетворяющие системе уравнений \( \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{\sin^3 x} + \frac{1}{\cos^3 y} = 54, \\ \mathop{\mathrm{ctg}}^2 x + \mathop{\mathrm{tg}}^2 y = 16. \end{array} \right.\)

Решение

Используя \(\href{https://examp.info/theorem/osnovnoe-trigonometricheskoe-tozhdestvo/}{\text{свойства тангенса и котангенса}}\) преобразуем нижнее равенство:\[
\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{\sin^3 x} + \frac{1}{\cos^3 y} = 54, \\ \frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 y} = 18. \end{array} \right.\] Далее обозначим \(\frac{1}{\sin x} = u, \frac{1}{\cos y} = v\) и получим: \[\left\{ \begin{array}{l} u^3 + v^3 = 54, \\ u^2 + v^2 = 18. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} (u + v)^3 - 3uv(u + v) = 54, \\ (u + v)^2 - 2uv = 18. \end{array} \right.\] Обозначим \(u + v = t, uv =s\), нужно отметить, что \(u, v, t, s\) числа положительные, так как косинусы и синусы в данном интервале положительны, и получим:\[\left\{ \begin{array}{l} t^3 -3st = 54, \\ t^2 - 2s = 18. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} t^3 - 3(\frac{t^2}{2} - 9)t = 54, \\ s = \frac{t^2}{2} - 9. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} t^3 -54t + 108 = 0, \\ s = \frac{t^2}{2} - 9. \end{array} \right.\]

Далее \(\href{https://examp.info/theorem/teorema-o-racionalnyh-kornyah/}{\text{по теореме о рациональных корнях}}\) найдём корень кубического уравнения \(t=6\), следовательно, по \(\href{https://examp.info/theorem/teorema-bezu/}{\text{теореме Безу}}\) можно представить уравнение в таком виде \((t - 6)(t^2 + 6t -18)=0\). Найдём \(\href{https://examp.info/onedef/kvadratnyj-tryohchlen/}{\text{корни квадратного трёхчлена}}\) \( t = 3(\pm\sqrt{3} - 1)\), не учитываем отрицательный вариант и проверим, чему равно \(s\), при\[t = 3(\sqrt{3} - 1) \Rightarrow s = \frac{(3(\sqrt{3} - 1))^2}{2} - 9 = 9 - 9\sqrt{3},\] что является отрицательной величиной и нам не подходит. При \(t = 6\) получаем \(s = \frac{36}{2} - 9 = 9\), и \[u + v = 6, uv = 9 \Leftrightarrow u = v = 3,\] с учётом того, что все числа положительны.

В итоге \(\frac{1}{\sin x} = 3 \Leftrightarrow x = \arcsin{\frac{1}{3}}\) и \(\frac{1}{\cos y} = 3 \Leftrightarrow y = \arccos{\frac{1}{3}}\). Другие не подходят, так как выходят за пределы заданного по условию интервала.

Ответ: \(\left( \arcsin \frac 13, \arccos\frac{1}{3} \right)\).