Найдите наименьшее значение выражения \[\sqrt{106 + \log_a^2 \cos xa + \log_a \cos^{10} xa} + \sqrt{58 + \log_a^2 \sin xa \hspace{0.1cm}- \log_a \sin^{6} xa} + \\ +\sqrt{5 + \log_a^2 \mathop{\mathrm{tg}} xa +\log_a \mathop{\mathrm{tg}^{2}} xa} \] и все пары \((a, x)\), при которых оно достигается.

Решение

Преобразуя исходное выражение, получим:
\[\sqrt{9^2 + (\log_a \cos xa + 5)^2} + \sqrt{7^2 + (3- \log_a \sin xa)^2} +\sqrt{2^2 + (\log_a \mathop{\mathrm{tg}} xa + 1)^2}.\]Рассмотрим точки \(X = (9; \log_a \cos xa + 5), Y = (7; 3- \log_a \sin xa)\), \(Z = (2; \log_a \mathop{\mathrm{tg}} xa + 1)\) на плоскости.
Сумма первых координат \(= 9 + 7 + 2 = 18,\) а вторых координат \(= \log_a \cos xa + 5 + 3 \hspace{0.1cm}- \) \(\log_a \sin xa\ + \log_a \mathop{\mathrm{tg}} xa + 1 = 9\). Нужно минимизировать суммы расстояний от данных точек до начала координат. Оно будет минимальным, если все эти точки лежат на одной прямой, проходящей через точки \((0; 0)\) и \((18; 9).\) Это означает:\[
\begin{cases}
\log_a \cos xa + 5 = \frac92\\
3 \hspace{0.1cm}- \log_a \sin xa = \frac72\\
\log_a \mathop{\mathrm{tg}} xa + 1 = 1
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
\cos xa = a^{-\frac12}\\
\sin xa = a^{-\frac12}\\
\mathop{\mathrm{tg}} xa = 1
\end{cases}
\]Третье равенство следует из первых двух. По основному тригонометрическому тождеству из \(\cos xa = \sin xa = a^{-\frac12}\) следует, что \(1 = 2 a^{-1}\). Откуда \(a = 2\) и:\[
\begin{cases}
\cos 2 x = \frac{1}{\sqrt2}\\
\sin 2 x = \frac{1}{\sqrt2}
\end{cases}
\Rightarrow
2 x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n\Rightarrow
x = \frac{\pi}{8} + \pi n ,n \in \mathbb{Z}\]Само значение выражения равняется \(9\sqrt{5}\).

Ответ: \(9\sqrt{5}, a = 2, x = \frac{\pi}{8} + \pi n ,n \in \mathbb{Z}\).