Из вершины \(S\) на плоскость основания \(KLM\) пирамиды \(KLMS\) опущена высота \(SH\). Найдите объём этой пирамиды, если известно, что площади треугольников \(\Delta HLM, \, \Delta HKM, \, \Delta HKL\) равны соответственно \(\frac{2}{10}, \, \frac{3}{10}, \, \frac{1}{2}\), и что все три плоских угла при вершине \(S\) прямые.

Решение

Обозначим через \(\alpha, \beta, \gamma\) \(\href{https://examp.info/onedef/dvugrannyj-ugol/}{ \text{двугранные углы}}\) при рёбрах \(LM, KM, KL\) соответственно. Поскольку \(SH\bot KLM,\ \Delta HLM\) является \(\href{https://examp.info/onedef/ortogonalnaya-proekciya/}{ \text{ортогональной проекцией}}\) \(\Delta SLM\). Следовательно, \(\dfrac{S(\Delta HLM)}{S(\Delta SLM)}=\cos\alpha\), по \(\href{https://examp.info/theorem/o-svyazi-ploshadi-secheniya-i-ploshadi-proekcii/}{ \text{теореме о связи площади сечения и площади проекции}}\). С другой стороны, \(KS \bot SLM\), то есть \(\Delta SLM\) является \(\href{https://examp.info/onedef/ortogonalnaya-proekciya/}{ \text{ортогональной проекцией}}\) \(\Delta KLM\), откуда \(\dfrac{S(\Delta SLM)}{S(\Delta KLM)}=\cos\alpha\), по той же \(\href{https://examp.info/theorem/o-svyazi-ploshadi-secheniya-i-ploshadi-proekcii/}{\text{теореме}}\). Учитывая, что \(S(\Delta KLM)=S(\Delta HLM)+S(\Delta HKM)+S(\Delta HKL)=\frac{2}{10} + \frac{3}{10}+\frac{1}{2}=1,\) получаем
\[\cos\alpha=S(\Delta SLM)=\dfrac{S(\Delta HLM)}{S(\Delta SLM)}=\sqrt{\frac{S(\Delta HLM)}{S(\Delta SLM)} \cdot \frac{S(\Delta SLM)}{S(\Delta KLM)}}=\sqrt{S(\Delta HLM)}.\]
Аналогично,
\[\cos\beta=S(\Delta SKM)=\sqrt{S(\Delta HKM)},\]
\[\cos\gamma=S(\Delta SKL)=\sqrt{S(\Delta HKL)}.\]
Далее, поскольку плоские углы при вершине \(S\) прямые, объём \(KLMS\) составляет \(\dfrac{1}{6}\) объёма прямоугольного параллелепипеда с такими же сторонами, тогда:
\[\text{V}(KLMS)=\dfrac 16 \cdot KS\cdot LS\cdot MS = \dfrac{\sqrt{2}}{3}\cdot\sqrt{\dfrac{LS\cdot MS}{2}\cdot \dfrac{KS\cdot MS}{2}\cdot \dfrac{KS\cdot LS}{2}}=\]\[=\dfrac{\sqrt 2}{3}\cdot\sqrt{S(\Delta SLM)\cdot S(\Delta SKM) \cdot S(\Delta SKL)}=\dfrac{\sqrt 2}{3}\cdot\sqrt[4]{S(\Delta HLM)\cdot S(\Delta HKM) \cdot S(\Delta HKL)}=\]\[=\dfrac{\sqrt 2}{3}\cdot\sqrt[4]{\dfrac 15 \cdot \dfrac{3}{10} \cdot\dfrac 12}=\frac{\sqrt[4]{75}}{15}.\]

Ответ: \(\frac{\sqrt[4]{75}}{15}\).