Решите неравенство \[\dfrac{\sqrt{4x - 2} - 1}{\sqrt{3x - 1} - 1} > 1.\]

Решение

Запишем цепочку равносильных неравенств:\[\dfrac{\sqrt{4x - 2} - 1}{\sqrt{3x - 1} - 1} > 1\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{4x - 2} - 1}{\sqrt{3x - 1} - 1} - \dfrac{\sqrt{3x - 1} - 1}{\sqrt{3x - 1} - 1} > 0\Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow \frac{\sqrt{4x - 2} - \sqrt{3x - 1}}{\sqrt{3x - 1} - 1} > 0\Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow\left[
\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{l}
4x - 2 > 3x - 1 \\
3x - 1 > 1 \\
3x - 1 \geqslant 0
\end{array}\right.\\
\left\{\begin{array}{l}
4x - 2 < 3x - 1 \\
3x - 1 < 1 \\
4x - 2 \geqslant 0
\end{array}\right.
\end{array}\right.\Leftrightarrow
\left[
\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{l}
x > 1 \\
x > \frac{2}{3}
\end{array}\right.\\
\left\{\begin{array}{l}
x < 1 \\
x < \frac{2}{3} \\
x \geqslant \frac{1}{2}
\end{array}\right.
\end{array}\right.\]
Откуда получаем, что \( x \in \left[ \dfrac{1}{2} ; \dfrac{2}{3} \right) \cup \left( 1; + \infty\right) \).

Ответ: \(\left[ \dfrac{1}{2} ; \dfrac{2}{3} \right) \cup \left( 1; + \infty\right) \).