\(\href{https://examp.info/onedef/mediana-treugolnika/}{\text{Медианы}}\) \(KC\) и \(LD\) треугольника \(KLM\) пересекаются в точке \(E\). Найдите длину отрезка \(EM\), если \(KL = 3\) и известно, что вокруг четырехугольника \(ECMD\) можно описать окружность.

Решение

Проведем последнюю медиану \(MN\). Она проходит через точку \(E\) и, по \(\href{https://examp.info/theorem/o-medianah/}{\text{свойству медиан треугольника}}\), \( 2NE = EM\).

Теперь покажем, что треугольники \(KEL\) и \(CED\) подобны. Во-первых, \( \angle KEL = \angle CED \) \(-\) как вертикальные. Во-вторых, \(CD\) \(-\) средняя линия треугольника \(KLM\), потому \(KL\) и \(CD\) параллельны, откуда \(\angle KLD = \angle CDL \) \(-\) как накрест лежащие. Наконец, \(KL=2CD\). Отсюда треугольники \(KLE\) и \(CDE\) подобны с коэффициентом подобия 2:1.

Из подобия находим\[ 2EP = NE \Rightarrow EM = 4EP, \ PM = EM - EP = 3EP.\]

Так как \(MN\) также делит пополам \(CD\), находим \(DP=PC=\dfrac{KN}{2}=\dfrac{3}{4}\). В итоге, по свойству хорд (см. определение \(\href{https://examp.info/onedef/stepen-tochki/}{\text{степени точки}}\)) получаем: \[ EP \cdot PM = DP \cdot PC \Rightarrow 3EP^2 = \frac{9}{16} \Rightarrow\]\[ \Rightarrow EP = \frac{\sqrt{3}}{4} \Rightarrow EM = 4EP = \sqrt{3}. \]

Ответ: \(\sqrt{3}\).