а) Решите уравнение \(2\sin^3 x +\sqrt{3} \cos^2 x = \sqrt{3}.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi\right]\).

Решение

Перенесем обе части неравенства в левую часть:
\begin{equation*}
\frac{\sqrt{5x+3}-\sqrt{3x+2}}{\sqrt{3x+2} -1} > 0;
\end{equation*}
Возникает два случая. Первый:
\begin{equation*}
\left \{
\begin{array}{lc}
\sqrt{5x+3} > \sqrt{3x+2}, \\
\sqrt{3x+2} > 1.
\end{array} \right.
\end{equation*}
Откуда получаем:
\begin{equation*}
\left \{
\begin{array}{lc}
5x+3 > 3x+2, \\
3x+2 > 1.
\end{array} \right.

\end{equation*}
Никакие условия на корень не требуются, поскольку при выполнении обоих неравенств подкоренные выражения автоматически будут положительны.
Решая систему неравенств, получаем \(x \in \left( -\frac{1}{3}; + \infty \right).\)
И второй случай:
\begin{equation*}
\left \{
\begin{array}{lc}
\sqrt{5x+3} < \sqrt{3x+2}, \\
\sqrt{3x+2} < 1.
\end{array} \right.
\end{equation*}
Откуда получаем:
\begin{equation*}
\left \{
\begin{array}{lc}
5x+3 < 3x+2, \\
3x+2 < 1, \\
5x+3 \geqslant 0.
\end{array} \right.
\end{equation*}
Не появляется никаких дополнительных условий на \(3x + 2\), поскольку при выполнении всех неравенств системы данный двучлен автоматически будет больше 0.
Решая систему неравенств, получаем \(x \in \left[-\frac{3}{5} ; -\frac{1}{2} \right)\).
После чего остается лишь объединить полученные решения для обоих случаев.

Ответ: \([-\frac{3}{5};-\frac{1}{2}) \cup(-\frac{1}{3};+\infty)\).