В закрытой коробке, имеющей форму куба со стороной 8, лежат два шара. Радиус первого из них равен 2. Этот шар касается плоскости основания и двух соседних боковых граней куба. Второй шар радиуса 3 касается двух других боковых граней куба и первого шара. На какой высоте над дном коробки находится центр второго шара?

Решение

Рассмотрим ситуацию в нескольких проекциях. Первая \(-\) «сверху», то есть проекция на плоскость основания. Тогда нетрудно понять, что \( AO_1 =\sqrt{2^2+2^2} = 2 \sqrt{2} ,\) \( CO_2 =\sqrt{ 3^2+3^2}= \sqrt{2} \), так как эти стороны являются диагоналями квадратов, образованных радиусами соответствующих окружностей.

Теперь перейдем в плоскость \(AA_1C_1C.\) Проведем \(O_1O_2 = 5,\) прямую \(O_1K\), параллельную \(AC\), \(O_2M\), параллельную \(CC_1.\) Тогда образуется прямоугольник \(LO_1KM\) и прямоугольный треугольник \(O_1O_2K\).

\(O_1K = LM = AC - AL - CM = 8\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 3\sqrt{2}.\) По теореме Пифагора в треугольнике \(O_1O_2K\) получаем:\[ O_1O_2 ^2 = O_2K^2 + O_1K^2 \Rightarrow O_2K = \sqrt{25 - 18} = \sqrt{7}. \]\(O_2M\) \(-\) искомая высота. \( O_2M = O_2K + KM = O_2K + O_1L = \sqrt{7} + 2 .\)

Ответ: \(2+\sqrt{7}\).