В кубе с ребром 1 расположены две сферы различных радиусов. Первая касается плоскости основания и двух соседних боковых граней куба. Вторая сфера касается двух других боковых граней, грани куба, параллельной основанию, и первой сферы. Чему равна сумма радиусов сфер?

Решение

Пусть \(ABCDA'B'C'D'\) - куб, а \(O_1, O_2\) - центры сфер и \(r, R\) - соответствующие радиусы, \(M\) - точка касания сфер. Начнём с того, что центры сфер лежат на диагонали куба, так как они касаются трёх смежных граней, образующих \(\href{https://examp.info/onedef/tryohgrannyj-ugol/}{\text{трёхгранный угол}}\), и расстояние до каждой грани равно радиусу соответствующей сферы, при том \(AO_1 = \sqrt3r, C'O_2 = \sqrt3R\). И, просуммируя, радиусы сфер получаем, что \(AC' = \sqrt3r + r + R + \sqrt3R = (r+R)(\sqrt3 + 1)\), но \(AC' = \sqrt3\), следовательно:\[
(r+R)(\sqrt3 + 1) = \sqrt3 \Leftrightarrow (r+R) = \frac{\sqrt3}{\sqrt3 + 1} = \frac{\sqrt3(\sqrt3 - 1)}{2} = \frac{3 - \sqrt3}{2}.
\]

Ответ: \(\frac{3-\sqrt{3}}2\).