Найдите все положительные \(x\) и \(y\), удовлетворяющие системе уравнений \( \left\{ \begin{array}{l} x^{\frac 32} + y = 16, \\ x + y^{\frac 23} = 8. \end{array} \right. \)

Решение

Положим \(a = \sqrt{x}, b = \sqrt[3]{y}\). Тогда исходная система принимает вид:
\begin{equation*}
\left \{
\begin{array}{lcl}
a^3+b^3=16,\\
a^2 + b^2 = 8.
\end{array}
\right.
\end{equation*}
Еще раз сделаем замену: положим \(u = a+b, v = ab\). Тогда \(u > 0, v > 0,\)
\begin{equation*}
a^2 + b^2 = u^2 - 2v, a^3 + b^3 = \left(a+b\right) \left(a^2 - ab + b^2\right) = u\left(u^2-3v\right).
\end{equation*}
Получаем
\begin{align*}
&\left \{
\begin{array}{lcl}
u\left(u^2-3v\right) = 16, \\
u^2 - 2v = 8.
\end{array}
\right.\Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow
&\left\{
\begin{array}{lcl}
u^3 - 24u + 32 =0,\\
v = \dfrac{u^2}{2} -4.
\end{array}
\right.
\Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow
&\left \{
\begin{array}{lcl}
\left(u-4\right)\left(u^2 +4u -8\right) = 0,\\
v = \dfrac{u^2}{2} - 4.
\end{array}
\right.
\Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow
&\left \{
\begin{array}{lcl}
\left(u - 4\right)\left(2v+4u\right) = 0, \\
v = \dfrac{u^2}{2} - 4.
\end{array}
\right.
\end{align*}
Откуда в силу положительности u, v следует, что
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{lcl}
u = 4, \\
v = 4
\end{array}
\right.
\Leftrightarrow
\left \{
\begin{array}{lcl}
a = 2, \\
b = 2.
\end{array}
\right.
\Leftrightarrow
\left \{
\begin{array}{lcl}
x = 4, \\
y = 8.
\end{array}
\right.
\end{equation*}

Ответ: \((4, 8)\).