Найдите все положительные \(x\), удовлетворяющие неравенству \(x^{3x + 7} > x^{12}.\)

Решение

Для положительных \(x\):
\begin{equation*}
x^{3x+7} > x^{12} \Leftrightarrow x^{3x-5} > 1 \Leftrightarrow \left( 3x-5 \right) \ln x > 0.
\end{equation*}
Воспользуемся \(\href{https://examp.info/theorem/metod-racionalizacii/}{\text{методом рационализации}}\) и получим:
\[
\left\{
\begin{array}{lcl}
x > 0, \\
\left(3x-5\right)\left(x-1\right) > 0.
\end{array} \right.
\]

Ответ: \((0, 1) \cup \left( \frac 53, +\infty \right)\).