Пусть \[\begin{array}{ccr} f(x, y) & = & \sqrt{-6x^2 - 14y^2 - 18xy + 6} + y, \\ g(x, y) & = & -\sqrt{-6x^2 - 14y^2 - 18xy + 6} + y. \end{array}\] Найдите все значения, которые может принимать хотя бы одна из этих функций.

Решение

Искомое множество совпадает с множеством значений \(z\), при которых разрешима относительно \(x,y\) совокупность
\begin{equation}
\left [
\begin{array}{lcl}
z - y = \sqrt{-6x^2-14y^2-18xy+6},\\
z - y = -\sqrt{-6x^2-14y^2-18xy+6}.
\end{array}
\right.
\end{equation}
Эта совокупность равносильна уравнению
\begin{equation*}
(z-y)^2 = -6x^2-14y^2-18xy+6.
\end{equation*}
То есть уравнение
\begin{equation*}
6x^2 + 18xy + \left(z-y\right)^2+14y^2+6 = 0.\
\end{equation*}
Разрешимость этого уравнения относительно \(x\) при фиксированных \(z,y\) равносильна неотрицательности \(\href{https://examp.info/onedef/kvadratnyj-tryohchlen/}{\text{дискриминанта}}\). Следовательно, исходное искомое множество совпадает с множеством тех \(z\), при которых относительно \(y\) разрешимо неравенство:
\begin{equation*}
\left(9y\right)^2-6\left(\left(z-y \right)^2+14y^2+6\right) \geqslant 0.
\end{equation*}
Перепишем это неравенство следующим образом:
\begin{equation*}
3y^2 - 4yz + 2z^2 - 12 \leqslant 0.
\end{equation*}
Оно разрешимо тогда и только тогда, когда дискриминант неотрицателен. То есть, когда
\begin{equation*}
z^2 \leqslant 18.
\end{equation*}
Стало быть, искомое множество \([-3\sqrt{2};3\sqrt{2}]\).

Ответ: \([-3\sqrt{2}, 3\sqrt{2}]\).